Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujo formato polar é ( 6, pi3 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas cartesianas de um ponto que está dado em formato polar. Isso significa que, em vez de ter as coordenadas (x, y), a gente tem a distância do ponto até a origem, que é 6, e o ângulo que esse ponto faz com o eixo positivo do x, que é pi3 radianos. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de trigonometria que fazem a conversão de coordenadas polares para cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as fórmulas que vão nos ajudar nessa conversão. Se a gente tem um ponto no formato polar representado por (r, theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo, as fórmulas para encontrar as coordenadas cartesianas (x, y) são:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos no exercício. Aqui, r = 6 e theta = pi3. Vamos substituir esses valores nas fórmulas que vimos:
Para o x:
x = 6 cdot cos(pi3)
Para o y:
y = 6 cdot sin(pi3)

Passo 4

Vamos calcular cos(pi3) e sin(pi3). Sabemos que:
cos(pi3) = 12
sin(pi3) = raiz32

Passo 5

Substituindo esses valores nas equações de x e y:
Para o x:
x = 6 cdot 12 = 3
Para o y:
y = 6 cdot raiz32 = 3raiz3

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são (3, 3raiz3).

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