Converta os seguintes números decimais para sua forma binária:
(c) 257

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal 257 para sua forma binária. Informação dada: o número decimal é 257. Pergunta: qual é a representação binária de 257?

Passo 2

Vou explicar o método básico e intuitivo que uso: divisão sucessiva por 2.
  • Ideia geral: para qualquer inteiro não negativo N escreve-se
N = 2q + r,
onde q é o quociente (inteiro) e r é o resto em \{0,1\}. O resto r é o bit menos significativo (o último dígito binário). Repetimos o processo com q até o quociente ser zero. Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos binários do número.
  • Interpretação dos dígitos: se os dígitos binários (bits) são b_k b_{k-1}\dots b_1 b_0, então o número representa
\sum_{i=0}^{k} b_i 2^{i}.
Cada posição i vale 2^{i}.
Esse método é bem prático para fazer na prova à mão sem calculadora.

Passo 3

Faço as divisões sucessivas de 257 por 2, registrando quociente e resto em cada passo. Vou escrever cada igualdade da forma \text{número} = 2\cdot\text{quociente} + \text{resto}ú:
257 = 2\cdot128 + 1
128 = 2\cdot64 + 0
64 = 2\cdot32 + 0
32 = 2\cdot16 + 0
16 = 2\cdot8 + 0
8 = 2\cdot4 + 0
4 = 2\cdot2 + 0
2 = 2\cdot1 + 0
1 = 2\cdot0 + 1
Os restos obtidos, na ordem em que apareceram, são: 1,0,0,0,0,0,0,0,1 (o primeiro resto corresponde ao bit menos significativo).

Passo 4

Ler os restos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro) produz o número binário. Assim, os restos lidos de baixo para cima dão os bits:
1\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;1.
Portanto a representação binária é
100000001_2.

Passo 5

Verificação rápida usando potências de dois (checar se bate com 257):
Os bits correspondem às potências \;2^{8},2^{7},\dots,2^{1},2^{0}\;. Aqui só há 1 em 2^{8} e em 2^{0}, então
100000001_2 = 1\cdot 2^{8} + 0\cdot2^{7} + \dots + 0\cdot2^{1} + 1\cdot2^{0} = 2^{8} + 2^{0}.
Como 2^{8}=256 e 2^{0}=1, isso dá
256 + 1 = 257,
que é o número original. Está verificado.

Passo 6

Dica rápida para a prova: quando o número é uma potência de dois mais algo pequeno, muitas vezes é mais rápido reconhecer 257 = 256 + 1 = 2^{8} + 1 e escrever diretamente 1 seguido de oito zeros e mais 1 — ou seja, 100000001_2.

Resposta

100000001_2

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