Converta os seguintes pontos, dados em coordenadas cartesianas ( x, y ), para suas coordenadas polares (r, θ), com r>0 e θ in[0,2 pi]. Lembre-se das fórmulas:
(g) (2,-2 raiz3)

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto (2,-2raiz3) em coordenadas cartesianas para coordenadas polares (r,theta), com r>0 e thetain[0,2pi]. Vamos usar as fórmulas
r=raizx^2+y^2 e theta obtido a partir de arctan!l(tfracyxr) ajustando o quadrante.

Passo 2

Calcular o raio r aplicando
r = raiz2^2 + l(-2raiz3r)^2 = raiz4 + 4cdot 3 = raiz16 = 4

Passo 3

Determinar o ângulo de referência alpha como
alpha = arctan!l(|y||x|r) = arctan!l(2raiz32r) = arctan(raiz3) = pi3
Aqui x=2>0 e y=-2raiz3<0, então o ponto está no quarto quadrante.

Passo 4

No quarto quadrante, theta = 2pi - alpha. Assim,
theta = 2pi - pi3 = 6pi3 - pi3 = 5pi3

Resposta

(r,theta) = l(4,tfrac5pi3r)

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