Exercício 2. Esboce a imagem:
F(t)=(cos t, sen t, e^-t), t >= 0.

Passo 1

O enunciado define uma curva paramétrica em R^3 dada por
F(t) = l(cos t,;sin t,;e^-tr), t>=0
O conteúdo é curvas paramétricas em R^3. Para esboçar a imagem vamos analisar separadamente a projeção no plano xy e o comportamento da coordenada z.

Passo 2

A projeção no plano xy é
(cos t,;sin t),
que descreve a circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso mostra que a curva fica sobre o cilindro
x^2+y^2=1

Passo 3

A coordenada vertical é
z(t)=e^-t,
que é decrescente, com z(0)=1 e limttoinftye^-t=0. Logo o ponto parte de altura 1 e vai descendo, aproximando-se de z=0 sem nunca alcançá-lo.

Passo 4

Combinando os dois fatos, a curva faz infinitas voltas em torno do eixo z (porque o ângulo theta=t cresce sem parar), ao mesmo tempo em que desce de forma exponencial. O resultado é uma espiral helicoidal sobre o cilindro x^2+y^2=1 que decresce de z=1 até z=0.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o cilindro x^2+y^2=1.
  2. Marque o ponto inicial (1,0,1).
  3. Trace algumas voltas ao redor do cilindro, cada vez descendo um pouco, de modo a mostrar o decaimento de z.
  4. Indique com setas o sentido de crescimento de t (sentido anti-horário visto do topo).

Resposta

A imagem é uma espiral que envolve o cilindro x^2+y^2=1, partindo de (1,0,1) e descendo exponencialmente até se aproximar do plano z=0.

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