Exercício 2. Esboce a imagem:
.
Passo 1
O enunciado define uma curva paramétrica em
dada por
O conteúdo é curvas paramétricas em
. Para esboçar a imagem vamos analisar separadamente a projeção no plano
e o comportamento da coordenada
.
Passo 2
A projeção no plano
é
que descreve a circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso mostra que a curva fica sobre o cilindro
Passo 3
A coordenada vertical é
que é decrescente, com
e
. Logo o ponto parte de altura 1 e vai descendo, aproximando-se de
sem nunca alcançá-lo.
Passo 4
Combinando os dois fatos, a curva faz infinitas voltas em torno do eixo
(porque o ângulo
cresce sem parar), ao mesmo tempo em que desce de forma exponencial. O resultado é uma espiral helicoidal sobre o cilindro
que decresce de
até
.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe o cilindro
. - Marque o ponto inicial
. - Trace algumas voltas ao redor do cilindro, cada vez descendo um pouco, de modo a mostrar o decaimento de
. - Indique com setas o sentido de crescimento de
(sentido anti-horário visto do topo).
Resposta
A imagem é uma espiral que envolve o cilindro
, partindo de
e descendo exponencialmente até se aproximar do plano
.