Exercício 23. Suponha
para todo
. Faça
em que
. Prove que
(a)
e
são ortogonais.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata de uma trajetória cuja velocidade instantânea é
e sempre não nula, de modo que a velocidade escalar é
Definimos o versor tangente
O que precisamos mostrar é:
(a) é ortogonal à sua derivada
;
(b) a aceleração pode ser decomposta em
(a)
(b) a aceleração
Passo 2
Para (a), note que
é unitário, logo
Derivando ambos os lados em relação a
, usando a regra do produto para o escalar, obtemos
Daí
ou seja,
e
são ortogonais.
Passo 3
Para (b), reescrevemos a velocidade como produto escalar de módulo e direção:
Aplicando a derivada em produto escalar, vem
Resposta
(a)
(b)
(b)