Exercício 23. Suponha |v(t)| neq 0 para todo t. Faça T(t)=v(t)v(t) em que v(t)=|v(t)|. Prove que
(a) T e d Td t são ortogonais.
(b) a=v d Td t+d vd t T.

Passo 1

O enunciado trata de uma trajetória cuja velocidade instantânea é vec v(t) e sempre não nula, de modo que a velocidade escalar é
v(t)=|vec v(t)|neq 0
Definimos o versor tangente
vec T(t)=vec v(t)v(t)
O que precisamos mostrar é:
(a) vec T(t) é ortogonal à sua derivada dvec Tdt;
(b) a aceleração vec a(t)=dvec vdt pode ser decomposta em
vec a(t)=v(t),dvec Tdt+dvdt,vec T(t)

Passo 2

Para (a), note que vec T(t) é unitário, logo
vec T(t)cdotvec T(t)=1
Derivando ambos os lados em relação a t, usando a regra do produto para o escalar, obtemos
ddtl(vec Tcdotvec Tr) =2,vec Tcdotdvec Tdt =0
Daí
vec Tcdotdvec Tdt=0,
ou seja, vec T e dvec Tdt são ortogonais.

Passo 3

Para (b), reescrevemos a velocidade como produto escalar de módulo e direção:
vec v(t)=v(t),vec T(t)
Aplicando a derivada em produto escalar, vem
vec a(t)=dvec vdt =ddtl[v(t),vec T(t)r] =dvdt,vec T(t) +v(t),dvec Tdt

Resposta

(a) vec Tperp tfracdvec Tdt
(b) vec a=v,dvec Tdt+dvdt,vec T

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