Converta os seguintes pontos, dados em coordenadas polares (
), para suas coordenadas cartesianas
.
Passo 1
O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede para convertê-lo para coordenadas cartesianas. Informações dadas:
- O ponto polar é
. - A tarefa é encontrar as coordenadas cartesianas
correspondentes a esse ponto polar.
Passo 2
Entender o que
e
representam (explicação didática):
-
é a distância do ponto à origem (sempre ). -
é o ângulo, medido a partir do eixo positivo, no sentido anti-horário, até o raio que liga a origem ao ponto.
Esses dois números determinam um ponto no plano.
Passo 3
Fórmulas de conversão (fórmula básica e explicação de cada termo):
- Aqui
e são as coordenadas cartesianas que queremos. -
é a projeção horizontal (em unidade de raio) e é a projeção vertical (em unidade de raio).
Passo 4
Aplicar as fórmulas ao nosso ponto: primeiro precisamos dos valores de
e
.
Observação geométrica simples sobre o ângulo:
Observação geométrica simples sobre o ângulo:
-
, ou seja, é um ângulo de , que fica no 4.º quadrante.
Propriedades trigonométricas usadas:
Como
e
temos
Passo 5
Calcular
e
usando
e os valores trigonométricos encontrados:
Simplificando:
Agora
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
- Calcular
a partir de :
correto.
- O ângulo correspondente tem tangente
, o que dá , que é equivalente a (mesmo ponto polar). Tudo bate.