Converta os seguintes pontos, dados em coordenadas polares ( r, \theta ), para suas coordenadas cartesianas (x, y).
\left(\sqrt{2}, \frac{7 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas polares e pede para convertê-lo para coordenadas cartesianas. Informações dadas:
  • O ponto polar é \left(\sqrt{2}, \dfrac{7\pi}{4}\right).
  • A tarefa é encontrar as coordenadas cartesianas (x,y) correspondentes a esse ponto polar.

Passo 2

Entender o que r e \theta representam (explicação didática):
  • r é a distância do ponto à origem (sempre r\ge0).
  • \theta é o ângulo, medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário, até o raio que liga a origem ao ponto.
    Esses dois números determinam um ponto no plano.

Passo 3

Fórmulas de conversão (fórmula básica e explicação de cada termo):
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
  • Aqui x e y são as coordenadas cartesianas que queremos.
  • \cos\theta é a projeção horizontal (em unidade de raio) e \sin\theta é a projeção vertical (em unidade de raio).

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao nosso ponto: primeiro precisamos dos valores de \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) e \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right).
Observação geométrica simples sobre o ângulo:
  • \dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}, ou seja, é um ângulo de 315^\circ, que fica no 4.º quadrante.
    Propriedades trigonométricas usadas:
\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha.
Como \alpha=\dfrac{\pi}{4} e
\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
temos
\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Calcular x e y usando r=\sqrt{2} e os valores trigonométricos encontrados:
x = r\cos\theta = \sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Simplificando:
\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{(\sqrt{2})^2}{2} = \dfrac{2}{2} = 1.
Agora y:
y = r\sin\theta = \sqrt{2}\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\dfrac{(\sqrt{2})^2}{2} = -\dfrac{2}{2} = -1.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
  • Calcular r a partir de (x,y)=(1,-1):
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}=r,
correto.
  • O ângulo correspondente tem tangente \tan\theta = \dfrac{y}{x} = -1, o que dá \theta=-\dfrac{\pi}{4}, que é equivalente a \theta=\dfrac{7\pi}{4} (mesmo ponto polar). Tudo bate.

Resposta

\,(1,-1)

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