Converta os seguintes valores decimais em binário.
d) 2133

Passo 1

O enunciado pede: converter o número decimal 2133 para sua representação em base 2 (binário).
Informação dada: o número é o inteiro positivo 2133. A tarefa é encontrar a sequência de bits (0s e 1s) que representa esse valor em binário.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): divisão sucessiva por 2.
  • Qual a ideia? Qualquer inteiro não-negativo N pode ser escrito como
N = b_k 2^k + b_{k-1}2^{k-1} + \dots + b_1 2 + b_0,
onde cada b_i é 0 ou 1. Esses b_i são os bits do número em base 2.
  • Como obter os b_i na prática: dividir N por 2, anotar o resto (que será 0 ou 1), então tomar o quociente e dividir por 2 novamente, e assim por diante até o quociente ser 0. Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, formam os bits do número do bit mais significativo para o menos significativo.
  • Por que os restos na ordem reversa? Porque na primeira divisão o resto dá o bit menos significativo b_0. Depois, o próximo resto é b_1, etc. Para formar o número do bit mais significativo ao menos significativo, lemos os restos de baixo para cima (último resto obtido é o bit mais significativo).

Passo 3

Pequeno exemplo ilustrativo (para fixar): converter 13 em binário.
  • 13 \div 2 = 6 resto 1 (bit b_0=1)
  • 6 \div 2 = 3 resto 0 (bit b_1=0)
  • 3 \div 2 = 1 resto 1 (bit b_2=1)
  • 1 \div 2 = 0 resto 1 (bit b_3=1)
    Restos do último para o primeiro: 1,1,0,1, então 13_{10}=1101_2. Isso mostra o processo; agora aplicamos ao 2133.

Passo 4

Aplicando divisões sucessivas ao número 2133. Em cada linha mostro o quociente e o resto (todo número e resto entre em TeX):
2133 \div 2 = 1066\\ \text{resto}\\\ 1
1066 \div 2 = 533\\ \text{resto}\\\ 0
533 \div 2 = 266\\ \text{resto}\\\ 1
266 \div 2 = 133\\ \text{resto}\\\ 0
133 \div 2 = 66\\ \text{resto}\\\ 1
66 \div 2 = 33\\ \text{resto}\\\ 0
33 \div 2 = 16\\ \text{resto}\\\ 1
16 \div 2 = 8\\ \text{resto}\\\ 0
8 \div 2 = 4\\ \text{resto}\\\ 0
4 \div 2 = 2\\ \text{resto}\\\ 0
2 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 0
1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1

Passo 5

Agora listamos os restos na ordem do último obtido para o primeiro obtido (ou seja, de cima para baixo na lista de restos acima): 1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;1,\;0,\;1,\;0,\;1. Colocando-os juntos formamos a sequência de bits do mais significativo para o menos significativo:
100001010101_2

Passo 6

Verificação por decomposição em potências de 2 (pra você ter certeza e poder justificar na prova): escrever quais potências de 2 estão com bit 1 na sequência 100001010101_2. Numerando os bits da direita para a esquerda como b_0,b_1,\dots,b_{11}, temos bits 1 nas posições 0,2,4,6,11. Portanto o valor decimal é
2^{11}+2^{6}+2^{4}+2^{2}+2^{0} = 2048 + 64 + 16 + 4 + 1 = 2133,
o que confirma que a conversão está correta.

Resposta

2133_{10} = 100001010101_2

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