Converta os seguintes valores decimais em binário.
g) 1000

Passo 1

O enunciado pede para converter o número decimal 1000 para a sua representação em base 2 (binário).
Informação dada: o número decimal inteiro é 1000.
Pergunta: qual é o correspondente em binário?

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida): qualquer inteiro N pode ser escrito em base 2 como
N = \sum_{i=0}^{m} b_i\,2^i,
onde cada b_i é 0 ou 1. Aqui 2^i são as potências de 2 (cada posição na escrita binária vale uma potência de 2). Para converter, precisamos encontrar os coeficientes b_i para as potências de 2 apropriadas. Primeiro passo prático: achar o maior expoente m tal que 2^m \le N.

Passo 3

Calcular algumas potências de 2 até passar de 1000:
2^0=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\quad 2^3=8,\quad 2^4=16,
2^5=32,\quad 2^6=64,\quad 2^7=128,\quad 2^8=256,\quad 2^9=512,\quad 2^{10}=1024.
Como 2^9=512\le1000 e 2^{10}=1024>1000, o maior expoente que precisamos é m=9. Portanto a representação binária terá dígitos das potências 2^9 até 2^0 (ou seja, até 10 bits, possivelmente com zeros à esquerda se necessário).

Passo 4

Método por subtração (greedy): vamos testar cada potência de 2 de cima para baixo, anotando 1 se usamos aquela potência e 0 caso contrário.
Começamos com N_0 = 1000.
N_1 = N_0 - 2^9 = 1000 - 512 = 488 \quad\Rightarrow\quad b_9 = 1.
N_2 = N_1 - 2^8 = 488 - 256 = 232 \quad\Rightarrow\quad b_8 = 1.
N_3 = N_2 - 2^7 = 232 - 128 = 104 \quad\Rightarrow\quad b_7 = 1.
N_4 = N_3 - 2^6 = 104 - 64 = 40 \quad\Rightarrow\quad b_6 = 1.
N_5 = N_4 - 2^5 = 40 - 32 = 8 \quad\Rightarrow\quad b_5 = 1.
\text{Testa }2^4:\quad 2^4=16>8 \quad\Rightarrow\quad b_4 = 0 \quad(\text{não subtrai})ã
N_6 = N_5 - 2^3 = 8 - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad b_3 = 1.
E como o resto ficou 0, os bits para 2^2,2^1,2^0 são zeros:
b_2 = 0,\quad b_1 = 0,\quad b_0 = 0.

Passo 5

Agora escrevemos os bits do maior expoente para o menor: (b_9 b_8 b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 b_2 b_1 b_0). Substituindo os valores encontrados:
(b_9\ldots b_0) = (1\;1\;1\;1\;1\;0\;1\;0\;0\;0).
Portanto a representação binária é
1111101000_2.

Passo 6

Verificação rápida somando as potências de 2 correspondentes aos bits 1:
2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^3 = 512+256+128+64+32+8 = 1000,
confirmando que a conversão está correta.

Passo 7

Método alternativo (divisões sucessivas) — só para aprender outra técnica: dividir por 2 e anotar restos.
1000\div2=500\\ \text{r}=0
500\div2=250\\ \text{r}=0
250\div2=125\\ \text{r}=0
125\div2=62\\ \text{r}=1
62\div2=31\\ \text{r}=0
31\div2=15\\ \text{r}=1
15\div2=7\\ \text{r}=1
7\div2=3\\ \text{r}=1
3\div2=1\\ \text{r}=1
1\div2=0\\ \text{r}=1
Lendo os restos de baixo para cima: 1111101000, mesmo resultado.

Passo 8

Pronto — conversão feita e checada! Ótimo trabalho por chegar até aqui; essa dupla técnica (subtração por potências e divisões sucessivas) é a que cai com frequência em prova — pratique com outros números para ganhar velocidade.

Resposta

1111101000_2

Exercícios relacionados