Converta para o sistema binário.
\quad 8192_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número dado para o sistema binário. As informações são:
  • Número dado: 8192_{10}.
  • Objetivo: escrever esse mesmo número em base 2 (sistema binário).

Passo 2

Rápida explicação do que é o sistema binário (pra ficar tranquilo na prova).
  • No sistema de base 2 usamos apenas os dígitos 0 e 1.
  • Cada posição representa uma potência de 2. Da direita para a esquerda as posições valem 2^{0},2^{1},2^{2},\dots.
  • Um número em binário como \,b_k b_{k-1}\dots b_1 b_0{}_2 representa
b_k 2^{k} + b_{k-1}2^{k-1} + \cdots + b_1 2^{1} + b_0 2^{0},
onde cada b_i\in\{0,1\}.
  • Estratégias comuns de conversão: (A) dividir sucessivamente por 2 e anotar restos; (B) identificar se o número é uma potência de 2 (nesse caso é mais rápido). Vou mostrar os dois raciocínios, mas usar o que for mais rápido na prova.

Passo 3

Método escolhido e por que: vou verificar se 8192 é uma potência de 2. Isso é rápido e evita uma longa sequência de divisões. Se for ( 8192=2^{n}), então a escrita binária é um 1 seguido de n zeros.

Passo 4

Calcular potências de 2 até alcançar 8192. Vou listar algumas potências importantes:
2^{0}=1,
2^{1}=2,
2^{2}=4,
2^{3}=8,
2^{4}=16,
2^{5}=32,
2^{6}=64,
2^{7}=128,
2^{8}=256,
2^{9}=512,
2^{10}=1024,
2^{11}=2048,
2^{12}=4096,
2^{13}=8192.
Aqui pegamos explicitamente que 2^{13}=8192.

Passo 5

Interpretação do resultado: como 8192=2^{13}, podemos escrever esse número como soma de potências de 2 com apenas um termo:
8192 = 1\cdot 2^{13} + 0\cdot 2^{12} + 0\cdot 2^{11} + \cdots + 0\cdot 2^{0}.
Na notação binária isso corresponde a um 1 na posição 2^{13} e zeros em todas as posições menores, ou seja, um 1 seguido de 13 zeros.

Passo 6

Forma explícita em binário e verificação rápida: portanto a representação binária é
8192_{10} = 10000000000000_2.
Verificação mental: esse número tem um 1 na posição que vale 2^{13} e nenhum outro 1, logo vale exatamente 2^{13}=8192. Tudo bate.

Resposta

10000000000000_2

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