Converta para o sistema octal.
\quad 1098_{10}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Dado: o número decimal \,1098_{10}\,.\n
  • Pedido: converter esse número para o sistema octal (base \,8\,).\n
  • Informação útil: no sistema octal os dígitos válidos vão de \,0\, a \,7\,.\n

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática)\n
  • A forma prática e segura de converter um inteiro da base decimal para outra base (como a base \,8\,) é dividir sucessivamente pelo novo base e anotar os restos. Cada resto será um dígito na nova base.\n
  • Raciocínio por trás: um número inteiro N pode ser escrito como soma de dígitos vezes potências da base. No caso da base \,8\,:
N = d_0\cdot 8^0 + d_1\cdot 8^1 + d_2\cdot 8^2 + \cdots
onde cada d_i é um dos restos da divisão por \,8\,. Ao dividir N por \,8\, obtém-se um quociente q e um resto r tal que
N = 8q + r,\qquad 0\le r\le 7.
O resto r é o dígito menos significativo ( d_0). Repetindo o processo com o quociente até o quociente ser zero, os restos lidos de baixo para cima (último resto obtido é o dígito mais significativo) formam a representação em octal.\n
  • Exemplo rápido e simples (fora do exercício): \,13_{10}\div8 dá quociente \,1\, resto \,5, depois 1\div8 dá quociente \,0\, resto \,1. Lendo restos de cima para baixo: \,13_{10}=15_8.\n

Passo 3

Primeira divisão: dividir \,1098\, por \,8\,\n
  • Fazendo a divisão inteira:
1098 \div 8 = 137\quad\text{com resto}\quad 2,
porque 8\times137=1096 e 1098-1096=2.\n
  • Anotar o resto menos significativo: d_0=2.\n

Passo 4

Segunda divisão: dividir o quociente \,137\, por \,8\,\n
  • Divisão:
137 \div 8 = 17\quad\text{com resto}\quad 1,
pois 8\times17=136 e 137-136=1.\n
  • Anotar o próximo resto: d_1=1.\n

Passo 5

Terceira divisão: dividir o quociente \,17\, por \,8\,\n
  • Divisão:
17 \div 8 = 2\quad\text{com resto}\quad 1,
pois 8\times2=16 e 17-16=1.\n
  • Anotar o resto: d_2=1.\n

Passo 6

Quarta divisão: dividir o quociente \,2\, por \,8\,\n
  • Divisão:
2 \div 8 = 0\quad\text{com resto}\quad 2,
pois 8\times0=0 e 2-0=2.\n
  • Anotar o resto mais significativo: d_3=2.\n
  • Como o quociente agora é \,0\,, paramos o processo.\n

Passo 7

Formar o número octal a partir dos restos\n
  • Os restos obtidos, na ordem em que apareceram, foram d_0=2, d_1=1, d_2=1, d_3=2.\n
  • Para escrever o número em octal, lemos os restos do último obtido para o primeiro (do mais significativo para o menos): \,d_3\,d_2\,d_1\,d_0 = 2\,1\,1\,2\,.\n
  • Logo, a representação em octal é \,2112_8\,.\n

Passo 8

Verificação (conversão de volta para decimal)\n
  • Conferir que a conversão está correta calculando
2\cdot 8^3 + 1\cdot 8^2 + 1\cdot 8^1 + 2\cdot 8^0.
  • Calcular passo a passo:
8^0=1,\quad 8^1=8,\quad 8^2=64,\quad 8^3=512,
2\cdot512 = 1024,\quad 1\cdot64 = 64,\quad 1\cdot8 = 8,\quad 2\cdot1 = 2.
1024 + 64 + 8 + 2 = 1098.
  • A soma retorna \,1098_{10}, portanto a representação \,2112_8\, está correta.\n

Resposta

2112_8

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