Converta para o sistema octal.
\quad 512_{10}

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos: foi pedido para converter o número \,512_{10}\, (isto é, quinhentos e doze em base decimal) para o sistema octal. Informação dada: o número em base decimal é \,512_{10}\,. A pergunta é: qual é a representação desse mesmo valor em base 8?

Passo 2

Qual método vou usar (e por que ele funciona). Vou usar o método das divisões sucessivas por 8. Explicação didática e intuitiva: em base 8 cada dígito representa potências de 8. Um número escrito como
d_n d_{n-1}\dots d_1 d_0 \text{ em base }8
significa
d_n\cdot 8^n + d_{n-1}\cdot 8^{n-1} + \dots + d_1\cdot 8 + d_0.
O procedimento das divisões sucessivas produz, da direita para a esquerda, os restos das divisões por 8, que são exatamente os dígitos d_0,d_1,\dots (cada resto fica no intervalo 0 a 7). Para obter os dígitos:
  • divide-se o número por 8,
  • o resto é o dígito menos significativo ( d_0),
  • o quociente é dividido novamente por 8 para obter o próximo resto ( d_1),
  • e assim sucessivamente até o quociente ser 0.
    Isso é equivalente a decompor em potências de 8.

Passo 3

Aplicando o método: faço divisões sucessivas de \,512\, por \,8\, e registro quocientes e restos.
Primeira divisão:
512 \div 8 = 64 \quad\text{resto }0.
Segunda divisão (divido o quociente por 8):
64 \div 8 = 8 \quad\text{resto }0.
Terceira divisão:
8 \div 8 = 1 \quad\text{resto }0.
Quarta divisão:
1 \div 8 = 0 \quad\text{resto }1.
Como o quociente agora é 0, paro aqui. Os restos obtidos, na ordem em que apareceram, foram 0,0,0,1.

Passo 4

Montando o número octal: os restos lidos de baixo para cima (último resto obtido é o dígito mais significativo) formam os dígitos em base 8. Assim os dígitos, do mais significativo ao menos significativo, são 1,0,0,0. Logo a representação em octal é
1000_8.

Passo 5

Verificação rápida (conferir que não houve erro): converto \,1000_8\, de volta para decimal usando potências de 8:
1\cdot 8^3 + 0\cdot 8^2 + 0\cdot 8 + 0 = 1\cdot 512 = 512,
que bate com o número original \,512_{10}\,. Portanto está correto.

Resposta

1000_8

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