Converta para o sistema octal.
\quad 4096_{10}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: o enunciado pede para converter o número 4096_{10} (ou seja, 4096 em base decimal) para o sistema octal (base 8). Informação dada: o número decimal é 4096. Pergunta: qual é a representação desse número em base 8?

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação rápida das opções): a forma mais básica e garantida de converter um inteiro de base decimal para base 8 é o método das divisões sucessivas por 8: divide-se o número por 8, anota-se o resto (esse resto é o dígito menos significativo), repete-se com o quociente até o quociente ser zero; os dígitos na base 8 aparecem lendo os restos de baixo para cima. Outra observação útil: às vezes o número é exatamente uma potência de 8 e a conversão é imediata. Vou mostrar primeiro a observação da potência (mais rápida) e depois o método das divisões passo a passo para você aprender a aplicar na prova.

Passo 3

Observação por potência de 8 (jeito rápido): calcular potências de 8 até alcançar 4096.
8^1 = 8
8^2 = 64
8^3 = 512
8^4 = 4096
Como \,8^4=4096\,, isso significa que o número decimal 4096 é exatamente 1 vezes 8^4 mais zero vezes as potências menores. Em notação posicional em base 8, isso é o dígito 1 na casa 8^4 e zeros nas casas menores, ou seja 10000_8. Já temos a resposta por reconhecimento da potência.

Passo 4

Explicação didática do método das divisões sucessivas (como fazer na prova): a ideia é escrever
N = 8\cdot q + r,
onde r é o resto com 0\le r\le 7. O resto r é o dígito menos significativo (unidades em base 8). Repetimos com q até q=0. Vou aplicar isso em 4096.

Passo 5

Aplicando as divisões sucessivas a 4096:
4096 = 8\cdot512 + 0 \quad\text{(resto }0\text{)}
512 = 8\cdot64 + 0 \quad\text{(resto }0\text{)}
64 = 8\cdot8 + 0 \quad\text{(resto }0\text{)}
8 = 8\cdot1 + 0 \quad\text{(resto }0\text{)}
1 = 8\cdot0 + 1 \quad\text{(resto }1\text{)}
Agora lemos os restos de baixo para cima (do último resto obtido até o primeiro): 1,0,0,0,0. Portanto a representação em base 8 é 10000_8.

Passo 6

Verificação final e comentário motivador: ambos os métodos (reconhecimento de potência e divisões sucessivas) dão o mesmo resultado 10000_8. Isso faz sentido porque 10000_8 corresponde ao valor decimal 1\cdot 8^4 = 4096. Bom trabalho — você já tem duas maneiras confiáveis de converter números para octal; na prova, use reconhecimento de potências quando possível para ganhar tempo, e o método das divisões quando não for óbvio.

Resposta

10000_8

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