Converta para o sistema octal.
\quad 456_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número dado para o sistema octal. Informações fornecidas:
  • O número é \,456_{10}\, (isto é, 456 em base decimal).
  • O objetivo é escrever o mesmo valor na base 8 (sistema octal).
  • Lembrete útil: em base 8 os dígitos possíveis são \,0,1,\dots,7.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar: divisão sucessiva por 8. Por que esse método funciona? Qualquer inteiro N pode ser escrito como
N = a_0 + a_1\cdot 8 + a_2\cdot 8^2 + \cdots,
onde cada a_i é um dígito entre 0 e 7. Ao dividir N por 8, o resto da divisão é exatamente a_0 (o dígito menos significativo). Repetindo o processo com o quociente obtemos os outros dígitos. No final, os restos lidos de baixo para cima (último resto para o primeiro) formam o número em octal.

Passo 3

Primeiro passo da divisão sucessiva: dividir \,456 por \,8.
Ao fazer a divisão inteira,
456 \div 8 = 57 \quad\text{com resto}\quad 0.
Então o primeiro (menos significativo) dígito octal é \,0.

Passo 4

Segundo passo: dividir o quociente anterior \,57 por \,8.
57 \div 8 = 7 \quad\text{com resto}\quad 1.
Portanto o próximo dígito octal (o seguinte da direita para a esquerda) é \,1.

Passo 5

Terceiro passo: dividir o novo quociente \,7 por \,8.
7 \div 8 = 0 \quad\text{com resto}\quad 7.
Como o quociente virou 0, esse resto \,7 é o dígito mais significativo.

Passo 6

Agora juntamos os restos obtidos, lendo do último obtido ao primeiro (do mais significativo para o menos significativo): 7,\;1,\;0. Assim o número em octal é \,710_8.

Passo 7

Para ter certeza, vamos conferir convertendo \,710_8 de volta para decimal usando potências de 8:
710_8 = 7\cdot 8^2 + 1\cdot 8^1 + 0\cdot 8^0.
Como 8^2=64 e 8^1=8,
7\cdot 64 + 1\cdot 8 + 0 = 448 + 8 + 0 = 456,
confirmando que a conversão está correta.

Passo 8

Resumo prático para a prova: para converter de decimal para octal faça divisões sucessivas por 8, anote os restos e leia-os de baixo para cima; no caso deste número o resultado foi encontrado em três divisões.

Resposta

710_8

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