Converta os valores Decimais para Binário representado em Complemento-2, utilizando o menor número de bits possível em cada caso.
123_{10}= & -123_{10}=

Passo 1

O enunciado pede para converter os valores decimais para binário representado em complemento de dois, usando o menor número de bits possível em cada caso. As duas quantias que precisamos converter são:
\;123_{10}\; e \;-123_{10}\;.
Listando as informações relevantes fornecidas:
  • Temos dois números: \;123_{10}\; (positivo) e \;-123_{10}\; (negativo).
  • A representação pedida é em complemento de dois (two’s complement).
  • Devemos usar o menor número de bits possível para cada representação.

Passo 2

Entendendo como escolher o menor número de bits: para uma representação em complemento de dois com \;n\; bits, o intervalo de valores inteiros representáveis é
-2^{\,n-1}\le x \le 2^{\,n-1}-1.
Isso quer dizer que, para caber um número positivo \;x\;, precisamos de \;2^{\,n-1}-1 \ge x\;. Para caber um número negativo \;-x\; (com x>0), precisamos de \;2^{\,n-1} \ge x\; porque o menor valor negativo que dá para representar é -2^{\,n-1}. Vou usar isso para achar o menor \;n\; possível.

Passo 3

Escolhendo o número de bits para \;123_{10}: precisamos de \;n\; tal que
2^{\,n-1}-1 \ge 123.
Resolvendo:
2^{\,n-1} \ge 124.
Agora testamos potências de dois:
\;2^{6}=64,\;2^{7}=128. Como \;128\ge124\;, temos \;n-1=7\Rightarrow n=8.
Portanto o menor número de bits que cabe \;123_{10}\; em complemento de dois é \;8\; bits (porque com \;7\; bits o máximo positivo é 2^{6}-1=63, insuficiente).

Passo 4

Converter \;123_{10}\; para binário em \;8\; bits (representação direta, já que é positivo).
Método: decompor por potências de dois ou dividir sucessivamente por \;2\;. Faço pela decomposição:
123 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1.
Essas são as potências \;2^{6},2^{5},2^{4},2^{3},2^{1},2^{0}.
Logo os bits, do mais significativo (2^7) ao menos significativo (2^0), ficam:
\begin{array}{c} 2^{7}:0\\\\ 2^{6}:1\\\\ 2^{5}:1\\\\ 2^{4}:1\\\\ 2^{3}:1\\\\ 2^{2}:0\\\\ 2^{1}:1\\\\ 2^{0}:1 \end{array}
Portanto a representação em \;8\; bits é \;01111011_{2}.

Passo 5

Escolhendo o número de bits para \;-123_{10}: para representar -123 precisamos de \;n\; tal que
-2^{\,n-1} \le -123 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{\,n-1} \ge 123.
Testando potências: \;2^{6}=64 insuficiente, \;2^{7}=128 satisfaz. Logo \;n-1=7\Rightarrow n=8.
Assim, o menor número de bits para -123 também é \;8\; bits.

Passo 6

Converter \;-123_{10}\; para complemento de dois em \;8\; bits. Vou usar o método padrão (a partir do positivo):
  1. Escrevo \;123_{10}\; em \;8\; bits: \;01111011_{2} (já obtido).
  2. Inverto todos os bits (complemento bit a bit): \;01111011 \mapsto 10000100.
  3. Adiciono \;1\; ao resultado (soma binária): \;10000100 + 1 = 10000101.
    Portanto a representação em complemento de dois de \;-123_{10}\; em \;8\; bits é \;10000101_{2}.

Passo 7

Verificação alternativa (chech rápido): em complemento de dois com \;8\; bits, o valor binário de um negativo x pode ser obtido por \;2^{8}-|x|.
Aqui \;2^{8}-123 = 256-123 = 133.
Converter \;133\; para binário dá \;10000101_{2}, que bate com o que obtivemos pelo método do complemento. Tudo consistente.

Resposta

123_{10} = 01111011_{2}
-123_{10} = 10000101_{2}

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