Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Esféricas para Cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede: converter o ponto do sistema de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O ponto dado é
.
Informações fornecidas:
- Raio (distância radial):
. - Segundo componente:
. - Terceiro componente:
.
O objetivo é encontrar as coordenadas cartesianas
correspondentes.
Passo 2
Escolha da convenção de esféricas (importante!).
Existem duas convenções comuns: em algumas áreas a segunda coordenada é o ângulo azimutal e a terceira é o ângulo polar; em outras (a convenção padrão em muitos livros de matemática) a tupla significa:
Existem duas convenções comuns: em algumas áreas a segunda coordenada é o ângulo azimutal e a terceira é o ângulo polar; em outras (a convenção padrão em muitos livros de matemática) a tupla
-
= distância radial ao origem, -
= ângulo polar medido a partir do eixo (ângulo entre o vetor posição e o eixo ), -
= ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo .
Vou usar esta convenção (a mais comum em cursos de matemática), isto é:
Se o enunciado usasse outra convenção, haveria uma diferença na fórmula; por isso é sempre bom confirmar na prova. Aqui adotei a convenção padrão.
Passo 3
Fórmulas de conversão (e por que elas valem).
Para a convenção adotada, as fórmulas que ligam esféricas a cartesianas são:
Para a convenção adotada, as fórmulas que ligam esféricas a cartesianas são:
Explicação intuitiva:
-
é a projeção da posição no plano (porque dá a componente perpendicular ao eixo ). - No plano
, para obter e multiplica-se essa projeção por e respectivamente (como em coordenadas polares). - A componente
é simplesmente (a projeção sobre o eixo ).
Passo 4
Calcular os valores trigonométricos necessários (valores exatos):
Passo 5
Calcular
usando a fórmula:
Agora simplificar passo a passo:
Logo
.
Passo 6
Calcular
usando a fórmula:
Simplificando:
Logo
.
Passo 7
Calcular
usando a fórmula:
Simplificando:
Logo
.
Passo 8
Apresentar o ponto em coordenadas cartesianas (forma exata).
As coordenadas cartesianas são:
As coordenadas cartesianas são: