Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Esféricas para Cartesianas:
\left(6, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede: converter o ponto do sistema de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O ponto dado é \left(6,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\right).
Informações fornecidas:
  • Raio (distância radial): 6.
  • Segundo componente: \frac{\pi}{4}.
  • Terceiro componente: \frac{\pi}{3}.
O objetivo é encontrar as coordenadas cartesianas (x,y,z) correspondentes.

Passo 2

Escolha da convenção de esféricas (importante!).
Existem duas convenções comuns: em algumas áreas a segunda coordenada é o ângulo azimutal e a terceira é o ângulo polar; em outras (a convenção padrão em muitos livros de matemática) a tupla (\rho,\theta,\varphi) significa:
  • \rho = distância radial ao origem,
  • \theta = ângulo polar medido a partir do eixo z (ângulo entre o vetor posição e o eixo z),
  • \varphi = ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x.
Vou usar esta convenção (a mais comum em cursos de matemática), isto é:
\rho=6,\qquad \theta=\frac{\pi}{4},\qquad \varphi=\frac{\pi}{3}.
Se o enunciado usasse outra convenção, haveria uma diferença na fórmula; por isso é sempre bom confirmar na prova. Aqui adotei a convenção padrão.

Passo 3

Fórmulas de conversão (e por que elas valem).
Para a convenção adotada, as fórmulas que ligam esféricas a cartesianas são:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=\rho\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=\rho\cos\theta.
Explicação intuitiva:
  • \rho\sin\theta é a projeção da posição no plano xy (porque \sin\theta dá a componente perpendicular ao eixo z).
  • No plano xy, para obter x e y multiplica-se essa projeção por \cos\varphi e \sin\varphi respectivamente (como em coordenadas polares).
  • A componente z é simplesmente \rho\cos\theta (a projeção sobre o eixo z).

Passo 4

Calcular os valores trigonométricos necessários (valores exatos):
\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Calcular x usando a fórmula:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi =6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}.
Agora simplificar passo a passo:
6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{6}{4}\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}.
Logo x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Calcular y usando a fórmula:
y=\rho\sin\theta\sin\varphi =6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Simplificando:
6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\cdot\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{6}{4}\sqrt{6}=\frac{3}{2}\sqrt{6}.
Logo y=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}.

Passo 7

Calcular z usando a fórmula:
z=\rho\cos\theta =6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Simplificando:
6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.
Logo z=3\sqrt{2}.

Passo 8

Apresentar o ponto em coordenadas cartesianas (forma exata).
As coordenadas cartesianas são:
\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{3\sqrt{6}}{2},\;3\sqrt{2}\right).

Resposta

\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{6}}{2},3\sqrt{2}\right)

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