Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Esféricas para Cartesianas:
\left(8, \frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado fornece o ponto em coordenadas esféricas \left(8, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right) e pede para convertê-lo para coordenadas cartesianas.
Informações dadas:
  • \rho = 8 (distância radial desde a origem),
  • o segundo ângulo vale \dfrac{2\pi}{3},
  • o terceiro ângulo vale \dfrac{\pi}{4}.
Pergunta clara: determinar (x,y,z) correspondentes a esse ponto.

Passo 2

Antes de calcular, preciso fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar — isso é importante porque existem duas convenções comuns. Vou escolher a convenção padrão em muitos livros de cálculo multivariado e física matemática, e explico por quê:
  • Nesta convenção as coordenadas esféricas são \big(\rho,\theta,\varphi\big) com
    • \rho = distância do ponto à origem (sempre \ge 0),
    • \theta = ângulo polar ou colatitude, isto é, o ângulo medido a partir do eixo z positivo (vai de 0 a \pi),
    • \varphi = ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo (vai de 0 a 2\pi).
      Escolhi essa convenção porque é muito usada em cursos de cálculo e porque com ela as fórmulas de conversão ficam simples e diretas. Se sua aula usa outra convenção (por exemplo com \varphi medindo a partir do eixo z), os resultados mudariam; aí seria preciso trocar \theta e \varphi.

Passo 3

Com a convenção escolhida, as fórmulas de conversão para cartesianas são:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi
y=\rho\sin\theta\sin\varphi
z=\rho\cos\theta
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a distância até a origem (a “norma” do vetor posição),
  • \theta é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z,
  • \varphi é o ângulo que a projeção do vetor posição no plano xy faz com o eixo x,
  • \sin e \cos são as funções trigonométricas seno e cosseno.
Agora aplico essas fórmulas ao ponto dado: \rho=8, \theta=\dfrac{2\pi}{3}, \varphi=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Calcular os senos e cossenos necessários (valores exatos):
\sin\theta=\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\cos\theta=\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}
\cos\varphi=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\varphi=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Passo 5

Calcular x:
x=\rho\sin\theta\cos\varphi
Substituindo os valores:
x=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
Multiplico passo a passo:
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}
x=8\cdot\frac{\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}

Passo 6

Calcular y:
y=\rho\sin\theta\sin\varphi
Substituindo:
y=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
Que é exatamente a mesma expressão que apareceu para x, portanto
y=2\sqrt{6}

Passo 7

Calcular z:
z=\rho\cos\theta
Substituindo:
z=8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-4

Passo 8

Verificação rápida (checar que o raio volta a \rho):
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+(2\sqrt{6})^{2}+(-4)^{2}}
=\sqrt{4\cdot6+4\cdot6+16}=\sqrt{24+24+16}=\sqrt{64}=8=\rho,
o que confirma coerência com \rho=8.

Resposta

\big(2\sqrt{6},\;2\sqrt{6},\;-4\big)

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