Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Esféricas para Cartesianas:
Passo 1
O enunciado fornece o ponto em coordenadas esféricas
e pede para convertê-lo para coordenadas cartesianas.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
(distância radial desde a origem), - o segundo ângulo vale
, - o terceiro ângulo vale
.
Pergunta clara: determinar
correspondentes a esse ponto.
Passo 2
Antes de calcular, preciso fixar a convenção de coordenadas esféricas que vou usar — isso é importante porque existem duas convenções comuns. Vou escolher a convenção padrão em muitos livros de cálculo multivariado e física matemática, e explico por quê:
- Nesta convenção as coordenadas esféricas são
com -
= distância do ponto à origem (sempre ), -
= ângulo polar ou colatitude, isto é, o ângulo medido a partir do eixo positivo (vai de a ), -
= ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo (vai de a ).
Escolhi essa convenção porque é muito usada em cursos de cálculo e porque com ela as fórmulas de conversão ficam simples e diretas. Se sua aula usa outra convenção (por exemplo commedindo a partir do eixo ), os resultados mudariam; aí seria preciso trocar e .
-
Passo 3
Com a convenção escolhida, as fórmulas de conversão para cartesianas são:
Explicando cada símbolo:
-
é a distância até a origem (a “norma” do vetor posição), -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o ângulo que a projeção do vetor posição no plano faz com o eixo , -
e são as funções trigonométricas seno e cosseno.
Agora aplico essas fórmulas ao ponto dado:
,
,
.
Passo 4
Calcular os senos e cossenos necessários (valores exatos):
Passo 5
Calcular
:
Substituindo os valores:
Multiplico passo a passo:
Passo 6
Calcular
:
Substituindo:
Que é exatamente a mesma expressão que apareceu para
, portanto
Passo 7
Calcular
:
Substituindo:
Passo 8
Verificação rápida (checar que o raio volta a
):
o que confirma coerência com
.