Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Esféricas para Cartesianas:
\left(10, \frac{5 \pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para converter para coordenadas cartesianas o ponto esférico \left(10, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right).
Dados fornecidos:
  • \rho = 10
  • \theta = \dfrac{5\pi}{6}
  • \varphi = \dfrac{\pi}{6}
O objetivo é encontrar as coordenadas cartesianas (x,y,z) correspondentes a esse ponto.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (e entender) as fórmulas de transformação entre coordenadas esféricas e cartesianas — usando a convenção mais comum em cálculo:
  • \rho é a distância do ponto até a origem (raio).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo positivo x (como o ângulo polar plano).
  • \varphi é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z).
As fórmulas que ligam as coordenadas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad z=\rho\cos\varphi.
Intuição rápida: \rho\sin\varphi é a projeção do raio no plano xy (o “raio horizontal”), e \cos\varphi dá a altura relativa ao eixo z. Depois essa projeção é decomposta em x e y por \cos\theta e \sin\theta.

Passo 3

Calcular os valores trigonométricos para \varphi=\dfrac{\pi}{6}:
\sin\varphi=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}, \qquad \cos\varphi=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Esses são valores do círculo trigonométrico conhecidos: \pi/6=30^\circ.

Passo 4

Calcular os valores trigonométricos para \theta=\dfrac{5\pi}{6}:
\cos\theta=\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin\theta=\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}.
Observe que \dfrac{5\pi}{6} está no segundo quadrante, então cosseno é negativo e seno é positivo.

Passo 5

Agora substituímos nas fórmulas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta =10\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =-\frac{10\sqrt{3}}{4} =-\frac{5\sqrt{3}}{2}.
y=\rho\sin\varphi\sin\theta =10\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =10\cdot\frac{1}{4} =\frac{10}{4} =\frac{5}{2}.
z=\rho\cos\varphi =10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =5\sqrt{3}.

Passo 6

Interpretação final: os três valores estão em forma exata (com radicais). Se precisar de aproximações numéricas, elas são
x\approx -4{,}3301,\quad y=2{,}5,\quad z\approx 8{,}6603,
mas normalmente em prova convém deixar em forma exata.

Resposta

\displaystyle \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},\;\frac{5}{2},\;5\sqrt{3}\right)

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