Um convite para participar de um núcleo de bairro é feito a uma população onde a probabilidade dele ser aceito é 0.8 . Se X representa o número de pessoas convidadas até que uma aceite o convite, determine:
O menor valor de m de modo que P(X <= m) >= 0.9.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a probabilidade de alguém aceitar um convite é p=0.8 e define X como “quantas pessoas eu tenho que chamar até pintar a primeira aceitação”. A gente precisa achar o menor m tal que
P(X <= m)>= 0.9
O tema aqui é Distribuição Geométrica e vamos usar a fórmula da soma das probabilidades até m para achar esse m.

Passo 2

Na distribuição geométrica (versão “conta até o primeiro sucesso”), a probabilidade de o primeiro sucesso acontecer exatamente no k-ésimo teste é
P(X=k) = (1-p)^,k-1,p
Aqui p=0.8 e (1–p)=0.2. Essa fórmula serve quando k=1,2,3,…

Passo 3

Para achar P(X<= m) =sumk=1^m(1-p)^k-1p =psumi=0^m-1(1-p)^i a gente soma de k=1 até k=m:
P(X<= m) =pcdot1-(1-p)^m1-(1-p) =1-(1-p)^m
Essa soma é uma progressão geométrica e vale

Passo 4

No nosso caso, p=0.8, então
P(X<= m)=1-(0.2)^m
Queremos
1-(0.2)^m>=0.9 Longrightarrow (0.2)^m<=0.1
Pra resolver isso, fazemos log dos dois lados:
mln(0.2)<=ln(0.1) Longrightarrow m>=ln(0.1)ln(0.2)approx1,43

Passo 5

Como m é inteiro e começa em 1, testamos:
  • m=1 → , não serve.
  • m=2 → , beleza!

Resposta

O menor valor de m é 2.

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