Um convite para participar de um núcleo de bairro é feito a uma população onde a probabilidade dele ser aceito é 0.8 . Se
representa o número de pessoas convidadas até que uma aceite o convite, determine:
O menor valor de
de modo que
.
O menor valor de
Passo 1
Beleza, a questão diz que a probabilidade de alguém aceitar um convite é p=0.8 e define X como “quantas pessoas eu tenho que chamar até pintar a primeira aceitação”. A gente precisa achar o menor m tal que
O tema aqui é Distribuição Geométrica e vamos usar a fórmula da soma das probabilidades até m para achar esse m.
Passo 2
Na distribuição geométrica (versão “conta até o primeiro sucesso”), a probabilidade de o primeiro sucesso acontecer exatamente no k-ésimo teste é
Aqui p=0.8 e (1–p)=0.2. Essa fórmula serve quando k=1,2,3,…
Passo 3
Para achar
a gente soma de k=1 até k=m:
Essa soma é uma progressão geométrica e vale
Passo 4
No nosso caso, p=0.8, então
Queremos
Pra resolver isso, fazemos log dos dois lados:
Passo 5
Como m é inteiro e começa em 1, testamos:
- m=1 →
, não serve. - m=2 →
, beleza!
Resposta
O menor valor de m é 2.