Sabe-se que 60 % dos universitários de uma cidade praticam algum tipo de esporte. Escolhendo-se, ao acaso, 20 universitários da cidade,
determine a probabilidade de que no mínimo 3 não pratiquem qualquer esporte.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede:
“Sabemos que 60% dos universitários praticam algum esporte. Se a gente escolhe 20 universitários ao acaso, qual a probabilidade de que no mínimo 3 não pratiquem esporte?”
Conteúdo: probabilidade, mais precisamente Distribuição Binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender que “não praticam” é p = 0,4;
  • Saber a fórmula da binomial ;
  • Usar complemento (ao invés de somar de 3 a 20 a gente faz 1 – P(X≤2));
  • Uma calculadora pra facilitar as potências e combinações.

Passo 2

Definimos a variável aleatória:
X sim Binomial(n=20,;p=0,4) número de universitários que não praticam esporte, em 20 escolhidos.
Como cada um, independentemente, tem probabilidade de não praticar, temos

Passo 3

O enunciado quer “no mínimo 3 não pratiquem esporte”, ou seja
P(X >= 3)
Em vez de calcular P(X>=3) ;=; 1 - P(X<=2) , é mais tranquilo usar o complemento:

Passo 4

Agora escrevemos
P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2),
e lembramos a fórmula geral da binomial:
P(X=k)=binom20k,(0,4)^k,(0,6)^20-k

Passo 5

Calcular cada termo:
  1. Para P(X=0)=binom200(0,4)^0(0,6)^20 =1cdot1cdot(0,6)^20approx 3,656times10^-5 :
P(X=1)=binom201(0,4)^1(0,6)^19 =20cdot0,4cdot(0,6)^19approx 4,874times10^-4
  1. Para P(X=2)=binom202(0,4)^2(0,6)^18 =190cdot0,16cdot(0,6)^18approx 3,086times10^-3 :
  1. Para :

Passo 6

Somando esses três:
P(X<=2)approx 3,656times10^-5 + 4,874times10^-4 + 3,086times10^-3 approx 0,003627
Então
P(X>=3)=1 - P(X<=2)approx 1 - 0,003627 = 0,996373

Resposta

A probabilidade de que no mínimo 3 dos 20 universitários não pratiquem esporte é aproximadamente
boxed0,9964 (ou 99,64%)

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