Convolução. Resolva as convoluções e as convoluções inversas
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede-se calcular
. - Temos as duas funções a convoluir:
e . - Domínio implícito:
. - Vou também encontrar a convolução no domínio do tempo (a “convolução inversa”, isto é, a função cujo Laplace é o resultado) para ter a solução completa.
Passo 2
Definição e ferramenta principal (explicando com calma):
- A convolução de duas funções
e é definida por
Isto é: para cada tempo
fixo, “desliza”
e soma o produto com
desde
até
.
- Teorema da transformada de Laplace para convolução (muito útil): se
e então
Ou seja: convolução no tempo vira produto no domínio de
. Isso simplifica muito o trabalho.
Passo 3
Transformada de Laplace de
(derivação curta e explicativa):
- Uma fórmula padrão (que é fácil de obter via integração de
) é
válida para
.
- Aplicando com
:
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução para obter
:
- Pelo teorema,
Esse é o resultado pedido para a transformada.
Passo 5
Encontrando a convolução no tempo diretamente (para saber a “convolução inversa”):
- Vamos calcular
- Use a identidade trigonométrica
Com
e
obtemos
e
. Assim o integrando vira
- Integramos de
a :
- Calcule a segunda integral: faça a substituição
, . Quando temos ; quando temos . Então
- Substituindo:
Passo 6
Verificação via transformada inversa (confirmação elegante usando propriedades do Laplace):
- Já temos
. A propriedade permite relacionar fatores no tempo com derivadas em . - Calcule
. Derivando:
Logo
- Agora combine as transformadas dos termos que encontramos para a convolução no tempo:
- Simplificando o segundo termo e colocando sobre o mesmo denominador:
o que coincide com o resultado do Passo 4. Portanto a convolução encontrada está correta.