Convolução. Resolva as convoluções e as convoluções inversas
\mathcal{L}\left\{\cos (4 t) * \cos (4 t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede-se calcular \mathcal{L}\{\cos(4t) * \cos(4t)\}.
  • Temos as duas funções a convoluir: f(t)=\cos(4t) e g(t)=\cos(4t).
  • Domínio implícito: t\ge 0.
  • Vou também encontrar a convolução no domínio do tempo (a “convolução inversa”, isto é, a função cujo Laplace é o resultado) para ter a solução completa.

Passo 2

Definição e ferramenta principal (explicando com calma):
  • A convolução de duas funções f e g é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Isto é: para cada tempo t fixo, “desliza” g e soma o produto com f desde \tau=0 até \tau=t.
  • Teorema da transformada de Laplace para convolução (muito útil): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} então
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\,G(s).
Ou seja: convolução no tempo vira produto no domínio de s. Isso simplifica muito o trabalho.

Passo 3

Transformada de Laplace de \cos(4t) (derivação curta e explicativa):
  • Uma fórmula padrão (que é fácil de obter via integração de e^{-(s-i\omega)t}) é
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
válida para \Re(s)>0.
  • Aplicando com \omega=4:
\mathcal{L}\{\cos(4t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+16}.

Passo 4

Aplicando o teorema da convolução para obter \mathcal{L}\{\cos(4t)*\cos(4t)\}:
  • Pelo teorema,
\mathcal{L}\{\cos(4t)*\cos(4t)\}(s)=\left(\frac{s}{s^{2}+16}\right)\!\left(\frac{s}{s^{2}+16}\right)=\frac{s^{2}}{(s^{2}+16)^{2}}.
Esse é o resultado pedido para a transformada.

Passo 5

Encontrando a convolução no tempo diretamente (para saber a “convolução inversa”):
  • Vamos calcular
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}\cos(4\tau)\cos(4(t-\tau))\,d\tau.
  • Use a identidade trigonométrica
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Com A=4\tau e B=4(t-\tau) obtemos A+B=4t e A-B=8\tau-4t. Assim o integrando vira
\cos(4\tau)\cos(4(t-\tau))=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4t)+\cos(8\tau-4t)\big).
  • Integramos de 0 a t:
\begin{aligned} (f*g)(t)&=\tfrac{1}{2}\!\left[\cos(4t)\int_{0}^{t}d\tau+\int_{0}^{t}\cos(8\tau-4t)\,d\tau\right]\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\!\left[t\cos(4t)+\int_{0}^{t}\cos(8\tau-4t)\,d\tau\right]. \end{aligned}
  • Calcule a segunda integral: faça a substituição u=8\tau-4t, du=8\,d\tau. Quando \tau=0 temos u=-4t; quando \tau=t temos u=4t. Então
\int_{0}^{t}\cos(8\tau-4t)\,d\tau=\frac{1}{8}\int_{-4t}^{4t}\cos u\,du=\frac{1}{8}\big(\sin(4t)-\sin(-4t)\big)=\frac{1}{4}\sin(4t).
  • Substituindo:
(f*g)(t)=\tfrac{1}{2}\,t\cos(4t)+\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4}\sin(4t)=\tfrac{1}{2}t\cos(4t)+\tfrac{1}{8}\sin(4t).]

Passo 6

Verificação via transformada inversa (confirmação elegante usando propriedades do Laplace):
  • Já temos \mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+16}. A propriedade \mathcal{L}\{t\,h(t)\}=-\dfrac{d}{ds}H(s) permite relacionar fatores t no tempo com derivadas em s.
  • Calcule -\dfrac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+16}\right). Derivando:
\frac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+16}\right)=\frac{(s^{2}+16)-2s^{2}}{(s^{2}+16)^{2}}=\frac{16-s^{2}}{(s^{2}+16)^{2}}.
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\mathcal{L}\{t\cos(4t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\!\left(\frac{s}{s^{2}+16}\right)=\frac{s^{2}-16}{(s^{2}+16)^{2}}.
  • Agora combine as transformadas dos termos que encontramos para a convolução no tempo:
\mathcal{L}\!\left\{\tfrac{1}{2}t\cos(4t)+\tfrac{1}{8}\sin(4t)\right\} =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}-16}{(s^{2}+16)^{2}}+\tfrac{1}{8}\cdot\frac{4}{s^{2}+16}.
  • Simplificando o segundo termo e colocando sobre o mesmo denominador:
\tfrac{1}{2}\frac{s^{2}-16}{(s^{2}+16)^{2} }+\tfrac{1}{2}\frac{1}{s^{2}+16} =\frac{s^{2}}{(s^{2}+16)^{2}},
o que coincide com o resultado do Passo 4. Portanto a convolução encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(4t)*\cos(4t)\}=\frac{s^{2}}{(s^{2}+16)^{2}}
\displaystyle \cos(4t)*\cos(4t)=\frac{1}{2}\,t\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t)

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