Coonsidere a equação
a \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+b \frac{d y}{d t}+c y=0
onde a, b e c são constantes positivas. Prove que toda solução dessa equação tende a zero, quando t tende a infinito.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
a \frac{d^{2}y}{dt^{2}} + b \frac{dy}{dt} + c\,y = 0,
onde a>0, b>0 e c>0. O conteúdo da matéria é resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro vamos achar a equação característica e suas raízes; depois, escrever a solução geral e verificar o comportamento quando t\to\infty.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica
a\,r^{2} + b\,r + c = 0.
As raízes dessa equação são
r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\,b^{2} - 4ac\,}}{2a}\,.

Passo 3

Para mostrar que toda solução tende a zero, precisamos ver que as raízes têm parte real negativa. Das fórmulas de soma e produto das raízes:
r_{1} + r_{2} = -\frac{b}{a} < 0, \qquad r_{1}r_{2} = \frac{c}{a} > 0.
Como o produto é positivo, r_{1} e r_{2} têm o mesmo sinal; e como a soma é negativa, ambos são negativos ou têm parte real negativa. No caso em que b^{2}-4ac<0, as raízes são complexas conjugadas
r = \alpha \pm i\beta,
com
\alpha = -\frac{b}{2a} <0.

Passo 4

Assim, a solução geral da EDO pode ser escrita em cada caso:
  1. Raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}:
y(t) = C_{1} e^{r_{1}t} + C_{2} e^{r_{2}t}.
  1. Raiz real dupla r:
y(t) = \bigl(C_{1} + C_{2}\,t\bigr)e^{rt}.
  1. Raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta:
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\bigr),
com \alpha<0.
Em todos os casos aparece um fator e^{\alpha t} ou e^{r_i t} com expoente negativo, logo
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.

Resposta

Qualquer solução da equação satisfaz
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.

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