Coonsidere a equação
onde
e
são constantes positivas. Prove que toda solução dessa equação tende a zero, quando
tende a infinito.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
onde
,
e
. O conteúdo da matéria é resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes: primeiro vamos achar a equação característica e suas raízes; depois, escrever a solução geral e verificar o comportamento quando
.
Passo 2
Associamos à EDO a equação característica
As raízes dessa equação são
Passo 3
Para mostrar que toda solução tende a zero, precisamos ver que as raízes têm parte real negativa. Das fórmulas de soma e produto das raízes:
Como o produto é positivo,
e
têm o mesmo sinal; e como a soma é negativa, ambos são negativos ou têm parte real negativa. No caso em que
, as raízes são complexas conjugadas
com
Passo 4
Assim, a solução geral da EDO pode ser escrita em cada caso:
- Raízes reais e distintas
e :
- Raiz real dupla
:
- Raízes complexas conjugadas
:
com
.
Em todos os casos aparece um fator
ou
com expoente negativo, logo
Resposta
Qualquer solução da equação satisfaz