Determine a solução do problema de valor inicial dado:
e
.
Passo 1
O problema de valor inicial é
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a superposição da solução homogênea
e de uma solução particular
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
logo há raiz dupla
. Assim
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para o termo
. Como
e
já estão em
(resonância dupla), tentamos
Escrevendo
, temos
Como queremos igualar a
, impomos
Calculando
vem
Logo
Passo 4
Para o termo constante
usamos uma constante
:
Portanto
Passo 5
A solução geral é
Aplicando
:
Para
escrevemos
com
. Então