Escolha somente um dos itens abaixo e responda:
Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y), dada por x y z=6, em P=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado dá uma superfície implícita definida por x\,y\,z=6 e pede a equação do plano tangente em P=(1,2,3). O conteúdo envolvido é derivadas parciais e gradiente de uma função implícita, pois o vetor gradiente de F(x,y,z) é normal ao plano tangente.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x\,y\,z-6
cuja superfície é F(x,y,z)=0. As derivadas parciais são
F_x(x,y,z)=y\,z, \qquad F_y(x,y,z)=x\,z, \qquad F_z(x,y,z)=x\,y.

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em P=(1,2,3):
F_x(1,2,3)=2\cdot3=6, \quad F_y(1,2,3)=1\cdot3=3, \quad F_z(1,2,3)=1\cdot2=2.
Logo o gradiente em P é \nabla F(1,2,3)=(6,3,2), que é o vetor normal ao plano tangente.

Passo 4

A equação geral do plano tangente a uma superfície implícita F(x,y,z)=0 em (x_0,y_0,z_0) é
F_x(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
Substituindo os valores em P=(1,2,3) e \nabla F(1,2,3)=(6,3,2), temos
6\,(x-1)+3\,(y-2)+2\,(z-3)=0.

Resposta

A equação do plano tangente é
6(x-1)+3(y-2)+2(z-3)=0,
ou de forma simplificada
6x+3y+2z-18=0.

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