Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0, \quad y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y' - 6\,y = 0
e condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1.
O método usado será o da equação característica, tipicamente ensinado em cursos de EDOs de C.C.

Passo 2

Procuramos uma solução da forma y = e^{r x}. Substituindo na equação diferencial obtemos a equação característica:
r^2 - r - 6 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica por Bhaskara:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
logo os dois valores de r são
r_1 = 3, \quad r_2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x}.
Derivando,
y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 2C_2 e^{-2x}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
- De y(0)=0 vem
C_1 + C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -C_1.
- De y'(0)=1 vem
3C_1 - 2C_2 = 1 \;\Longrightarrow\; 3C_1 - 2(-C_1) = 1 \;\Longrightarrow\; 5C_1 = 1 \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac{1}{5}, \;C_2 = -\tfrac{1}{5}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular:
y(x) = \tfrac{1}{5}e^{3x} - \tfrac{1}{5}e^{-2x} = \tfrac{1}{5}\bigl(e^{3x} - e^{-2x}\bigr).

Resposta

y(x) = \frac{1}{5}\bigl(e^{3x} - e^{-2x}\bigr).

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