Uma cooperativa de agricultura familiar embala seu arroz com a promessa de que cada pacote contém pelo menos 1 kg de produto. Essa afirmação está impressa nas embalagens e é fiscalizada por órgãos de defesa do consumidor. Para verificar a conformidade com o peso declarado, uma amostra de 12 pacotes foi coletada aleatoriamente em diferentes dias de produção.
Os pesos individuais (em gramas) dos pacotes foram registrados a seguir:
998
1001
997
999
1002
996
1000
998
997
999
1000
1001
Itens
a) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa, considerando a suspeita de que os pacotes estejam sendo entregues com menos de 1 kg .
b) Calcule a média e o desvio padrão amostral dos pesos.
c) Determine a região crítica na escala da média amostral, considerando , e indique quais valores da média amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula.
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua se há ou não evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
f) Suponha que a média real do peso dos pacotes seja de gramas. Calcule a probabilidade do erro tipo II para essa hipótese alternativa.
Passo 1
O enunciado trata de testar se a média do peso de pacotes de arroz é menor que g com nível de significância . Para isso vamos usar o teste t para uma amostra, pois a variância populacional é desconhecida. Precisamos calcular a média amostral , o desvio padrão amostral , formular as hipóteses, obter a região crítica e o p-valor, tomar a decisão e, por fim, avaliar o erro tipo II para g.
Passo 2
As hipóteses são
pois se suspeita que o peso médio seja inferior a kg.
Passo 3
Os dados (em gramas) são
A média amostral é
O desvio padrão amostral vem de
Passo 4
Para alpha=0,10 e n-1=11 graus de liberdade, o quantil crítico unilater al é
t0,10;11approx -1,363
A região de rejeição em termos de bar x é
bar x <= 1000 + t0,10;11,sraiz12 = 1000 -1,363cdot1,858raiz12 approx 999,27 g
Logo, rejeita-se H0 se bar x<=999,27.
Passo 5
O valor do estatístico observado é
t = bar x -1000s/raiz12 = 999-10001,858/raiz12 approx -1,864
O p-valor unilatel é
p = P(T11<= -1,864)approx 0,046
Passo 6
Como p=0,046<alpha=0,10, rejeitamos H0. Há evidência suficiente para concluir que a média dos pacotes é inferior a 1000 g.
(b) bar x=999 g e sapprox1,858 g.
(c) Rejeitar H0 se bar x<=999,27 g.
(d) p-valorapprox0,046
(e) Como p<0,10, rejeita-se H0.
(f) beta(mu=997)approx1,2times10^-5