Uma cooperativa de agricultura familiar embala seu arroz com a promessa de que cada pacote contém pelo menos 1 kg de produto. Essa afirmação está impressa nas embalagens e é fiscalizada por órgãos de defesa do consumidor. Para verificar a conformidade com o peso declarado, uma amostra de 12 pacotes foi coletada aleatoriamente em diferentes dias de produção.
Os pesos individuais (em gramas) dos pacotes foram registrados a seguir:
998 1001 997 999 1002 996 1000 998 997 999 1000 1001

Itens

a) Estabeleça as hipóteses nula e alternativa, considerando a suspeita de que os pacotes estejam sendo entregues com menos de 1 kg .
b) Calcule a média e o desvio padrão amostral dos pesos.
c) Determine a região crítica na escala da média amostral, considerando , e indique quais valores da média amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula.
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua se há ou não evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
f) Suponha que a média real do peso dos pacotes seja de gramas. Calcule a probabilidade do erro tipo II para essa hipótese alternativa.

Passo 1

O enunciado trata de testar se a média do peso de pacotes de arroz é menor que 1000 g com nível de significância alpha=0,10. Para isso vamos usar o teste t para uma amostra, pois a variância populacional é desconhecida. Precisamos calcular a média amostral bar x, o desvio padrão amostral s, formular as hipóteses, obter a região crítica e o p-valor, tomar a decisão e, por fim, avaliar o erro tipo II para mu=997 g.

Passo 2

As hipóteses são
H0:mu =1000versus H1:mu<1000,
pois se suspeita que o peso médio seja inferior a 1 kg.

Passo 3

Os dados (em gramas) são
998,1001,997,999,1002,996,1000,998,997,999,1000,1001
A média amostral é
bar x = 1198812 = 999 g
O desvio padrão amostral vem de
s = raiz1n-1sumi=1^n(xi-bar x)^2 = raiz3811 approx 1,858 g

Passo 4

Para alpha=0,10 e n-1=11 graus de liberdade, o quantil crítico unilater al é
t0,10;11approx -1,363
A região de rejeição em termos de bar x é
bar x <= 1000 + t0,10;11,sraiz12 = 1000 -1,363cdot1,858raiz12 approx 999,27 g
Logo, rejeita-se H0 se bar x<=999,27.

Passo 5

O valor do estatístico observado é
t = bar x -1000s/raiz12 = 999-10001,858/raiz12 approx -1,864
O p-valor unilatel é
p = P(T11<= -1,864)approx 0,046

Passo 6

Como p=0,046<alpha=0,10, rejeitamos H0. Há evidência suficiente para concluir que a média dos pacotes é inferior a 1000 g.

Passo 7

Para mu=997 g, o erro tipo II é
beta = Pl(bar x > 999,27 mid mu=997r) = P!l(Z > 999,27-9971,858/raiz12r) = P(Z>4,23)approx 1,2times10^-5

Resposta

(a) H0:mu=1000 H1:mu<1000
(b) bar x=999 g e sapprox1,858 g.
(c) Rejeitar H0 se bar x<=999,27 g.
(d) p-valorapprox0,046
(e) Como p<0,10, rejeita-se H0.
(f) beta(mu=997)approx1,2times10^-5

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