Pesquisadores de uma universidade estão investigando se houve mudança nos níveis de pressão arterial sistólica de uma população urbana após a implementação de uma política pública de alimentação saudável. O valor histórico da pressão arterial média sistólica é de 1 2 0 m m H g. A variância da pressão arterial na população é considerada conhecida e igual a sigma^2=100.
Após um ano da política em vigor, foi realizada uma amostra aleatória de 2 5 indivíduos, e a média amostral da pressão arterial observada foi de 124 mmHg .

Itens:

a) Formule as hipóteses nula e alternativa adequadas para verificar se a média populacional mudou após a intervenção.
b) Determine a região crítica na escala da média amostral para um nível de significância de 5 %, ou seja, quais valores da média amostral observada implicariam na rejeição da hipótese nula.
c) Calcule o p-valor correspondente à média amostral observada.
d) Com base na região crítica e no p-valor, conclua se há evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese nula.
e) Calcule a probabilidade do erro tipo II se a verdadeira média da pressão arterial, após a intervenção, for de 1 2 2 m m H g.

Passo 1

O problema é um teste de hipóteses para a média de uma população com variância conhecida. O valor histórico é mu0=120 mmHg, a variância populacional é sigma^2=100 (logo sigma=10 mmHg), o tamanho da amostra é n=25 e a média amostral observada é bar x=124 mmHg. Como queremos saber se houve mudança (qualquer direção) usamos um teste bilateral baseado na estatística
Z = bar X - mu0sigma/raizn

Passo 2

Formulamos as hipóteses para verificar mudança na média sistólica após a intervenção:
H0:mu = 120
H1:mu neq 120

Passo 3

Para alpha=0,05 num teste bilateral, o ponto crítico de Z é
z1-alpha/2=z0,975approx 1,96
Como sigma/raizn=10/5=2, rejeitamos H0 se
l|bar x - 1202r| > 1,96
isto é, se
bar x > 120 + 1,96cdot2 = 123,92 ou bar x < 120 - 1,96cdot2 = 116,08

Passo 4

O valor observado de Z é
Zrm obs = 124 - 1202 = 2
O p-valor do teste bilateral é
p = 2,l[1 - Phi(2)r]approx 2,(1 - 0,97725) = 0,0455

Passo 5

Como bar x=124>123,92, cai na região de rejeição, e o p-valor 0,0455<0,05 confirma que rejeitamos H0. Há evidência estatística suficiente de mudança na média.

Passo 6

Se a verdadeira média fosse mu=122 mmHg, a probabilidade de não rejeitar H0 (erro tipo II) é
beta = Pl(116,08 < bar X < 123,92 mid mu=122r) = Pl(-2,96 < Z < 0,96r) = Phi(0,96) - Phi(-2,96) approx 0,8315 - 0,0015 = 0,83

Resposta

a) H0:mu=120,;H1:muneq120.
b) Rejeitar H0 se bar x<116,08 mmHg ou bar x>123,92 mmHg.
c) p-valorapprox0,0455.
d) Rejeita-se H0 (pois 124>123,92 e p<0,05).
e) betaapprox0,83.

Exercícios relacionados