Uma empresa afirma que pelo menos 9 0 % de seus produtos passam no controle de qualidade. Um fiscal suspeita de um desempenho inferior e coleta uma amostra de 8 0 produtos, dos quais 6 7 passaram no controle.

Itens:

a) Formule as hipóteses nula e alternativa, considerando a suspeita de que a taxa de aprovação é inferior a 90 %.
b) Calcule a proporção amostral observada.
c) Determine a região crítica na escala da proporção amostral, com alpha=0,10, e indique quando rejeitar a hipótese nula.
d) Calcule o p-valor do teste.
e) Conclua com base nos resultados se há indícios de desempenho inferior ao prometido.
f) Supondo que a taxa real de aprovação seja 85%, calcule a probabilidade do erro tipo II.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a proporção de produtos aprovados em controle de qualidade. A empresa diz que p>=0,90, o fiscal suspeita que p<0,90 e coletou n=80 produtos, dos quais x=67 passaram. Vamos usar o teste de hipótese unilateral à esquerda para proporção.

Passo 2

Formulamos as hipóteses nula e alternativa como
H0:;p=0,90,
H1:;p<0,90

Passo 3

Calculamos a proporção amostral observada:
hat p = xn = 6780 = 0,8375

Passo 4

Com nível de significância alpha=0,10 e teste à esquerda, o ponto crítico em escala z é zalpha=-1,2816. Na escala da proporção, o limite c satisfaz
c = p0 + zalpha,raizp0(1-p0)n =0,90 -1,2816raiz0,9cdot0,180 approx0,8570
Rejeitamos H0 se hat p<=0,8570.

Passo 5

O valor observado de z é
zobs = hat p - p0raizp0(1-p0)/n = 0,8375-0,90raiz0,9cdot0,1/80 approx -1,863
O p-valor é
P(Z<= zobs)=P(Z<= -1,863)approx0,0314

Passo 6

Como o p-valor ( approx0,0314) é menor que alpha=0,10, rejeitamos H0. Há evidências de que a taxa real de aprovação seja inferior a 90%.

Passo 7

Supondo p=0,85 de fato, o erro tipo II é
beta = Pl(hat p>0,8570mid p=0,85r) =1-Phi!l(0,8570-0,85raiz0,85cdot0,15/80r) approx1-Phi(0,1754) approx0,4305

Resposta

a) H0:p=0,90,;H1:p<0,90
b) hat p=0,8375
c) Região crítica: hat p<=0,8570. Rejeita-se H0 se hat p<=0,8570.
d) p-valor approx0,0314
e) Rejeita-se H0; há indícios de desempenho inferior.
f) Erro tipo II betaapprox0,4305

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