Uma empresa do setor de construção civil desenvolveu um novo tipo de compósito para uso em estruturas de concreto. O material foi projetado para ter uma resistência média à tração de pelo menos 500 MPa, valor considerado seguro para aplicações estruturais. A resistência à tração segue distribuição normal, e testes laboratoriais anteriores indicam que a variância populacional é conhecida e igual a
.
Para verificar se o material está atendendo à especificação, foi coletada uma amostra aleatória de 16 unidades, e a média observada da resistência à tração foi de 492 MPa .
Itens:
a) Formule as hipóteses nula e alternativa do teste de hipótese para verificar se o material está abaixo do padrão mínimo especificado.
b) Determine a região crítica na escala da média amostral (isto é, especifique quais valores da média amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula), utilizando um nível de significância de
.
c) Calcule o valor-p (p-valor) correspondente à média amostral observada.
d) Com base no p-valor e na região crítica, conclua se a hipótese nula deve ser rejeitada.
e) Suponha agora que a verdadeira média populacional da resistência à tração seja
. Calcule a probabilidade de erro tipo II para essa hipótese alternativa.
b) Determine a região crítica na escala da média amostral (isto é, especifique quais valores da média amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula), utilizando um nível de significância de
c) Calcule o valor-p (p-valor) correspondente à média amostral observada.
d) Com base no p-valor e na região crítica, conclua se a hipótese nula deve ser rejeitada.
e) Suponha agora que a verdadeira média populacional da resistência à tração seja
Passo 1
O enunciado descreve um teste de hipótese sobre a média de uma variável normalmente distribuída, com variância populacional conhecida
. Temos uma amostra de tamanho
em que a média amostral observada é
. O objetivo é verificar se a média populacional
está abaixo de 500 MPa, usando nível de significância
. Vamos aplicar o teste-z unilateral à esquerda.
Passo 2
Formulamos as hipóteses e definimos a estatística de teste:
Como
é conhecida (
), a estatística de teste é
que sob
segue
.
Passo 3
Para
no teste unilateral à esquerda, o valor crítico da normal padrão é
Transformando para a escala da média amostral, rejeitamos
se
Logo, a região crítica em termos de
é
Passo 4
Calculamos o valor da estatística para
:
O
-valor é
Passo 5
Comparando com
, temos
, e
, logo
cai na região crítica. Concluímos que rejeitamos
: há evidência de que
MPa.
Passo 6
Para a hipótese alternativa
MPa, o erro tipo II é
Resposta
a)
MPa e
MPa.
b) Rejeitar se
MPa.
c) .
d) Como e
, rejeita-se
.
e) .
b) Rejeitar
c)
d) Como
e)