Uma empresa do setor de construção civil desenvolveu um novo tipo de compósito para uso em estruturas de concreto. O material foi projetado para ter uma resistência média à tração de pelo menos 500 MPa, valor considerado seguro para aplicações estruturais. A resistência à tração segue distribuição normal, e testes laboratoriais anteriores indicam que a variância populacional é conhecida e igual a sigma^2=400.
Para verificar se o material está atendendo à especificação, foi coletada uma amostra aleatória de 16 unidades, e a média observada da resistência à tração foi de 492 MPa .

Itens:

a) Formule as hipóteses nula e alternativa do teste de hipótese para verificar se o material está abaixo do padrão mínimo especificado.
b) Determine a região crítica na escala da média amostral (isto é, especifique quais valores da média amostral observada levariam à rejeição da hipótese nula), utilizando um nível de significância de 1 0 %.
c) Calcule o valor-p (p-valor) correspondente à média amostral observada.
d) Com base no p-valor e na região crítica, conclua se a hipótese nula deve ser rejeitada.
e) Suponha agora que a verdadeira média populacional da resistência à tração seja 4 9 0 M P a. Calcule a probabilidade de erro tipo II para essa hipótese alternativa.

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipótese sobre a média de uma variável normalmente distribuída, com variância populacional conhecida sigma^2=400. Temos uma amostra de tamanho n=16 em que a média amostral observada é bar x = 492. O objetivo é verificar se a média populacional mu está abaixo de 500 MPa, usando nível de significância alpha=0,10. Vamos aplicar o teste-z unilateral à esquerda.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e definimos a estatística de teste:
H0: mu >= 500, H1: mu < 500
Como sigma é conhecida ( sigma=20), a estatística de teste é
Z = bar X - 500sigma/raizn = bar X - 50020/raiz16 = bar X - 5005,
que sob H0 segue N(0,1).

Passo 3

Para alpha=0,10 no teste unilateral à esquerda, o valor crítico da normal padrão é
z0,10 = -1,2816
Transformando para a escala da média amostral, rejeitamos H0 se
bar x <= 500 + z0.10,20raiz16 = 500 - 1,2816 times 5 = 493,592
Logo, a região crítica em termos de bar x é
bar x <= 493,592 MPa

Passo 4

Calculamos o valor da estatística para bar x=492:
Zrm obs = 492 - 5005 = -1,6
O p-valor é
p = P(Z <= -1,6) = Phi(-1,6) approx 0,0548

Passo 5

Comparando com alpha=0,10, temos p=0,0548<0,10, e bar x=492<493,592, logo bar x cai na região crítica. Concluímos que rejeitamos H0: há evidência de que mu<500 MPa.

Passo 6

Para a hipótese alternativa mu=490 MPa, o erro tipo II é
beta = Pl(bar X > 493,592 mid mu=490r) = P!l(Z > 493,592-4905r) = P(Z > 0,7184) = 1 - Phi(0,7184) approx 0,236

Resposta

a) H0colon mu>= 500 MPa e H1colon mu<500 MPa.
b) Rejeitar H0 se bar x<= 493,592 MPa.
c) p-valor approx 0,0548.
d) Como p<0,10 e bar x=492<493,592, rejeita-se H0.
e) beta approx 0,236.

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