As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, theta) do ponto, onde r>0 e 0 <= theta<2 pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, theta) do ponto, onde r<0 e 0 <= theta<2 pi.
(b) (3,3 raiz3)

Passo 1

O enunciado dá o ponto de coordenadas cartesianas (3,3raiz3) e pede suas coordenadas polares (r,theta) em dois casos: (i) r>0 e (ii) r<0, sempre com thetain[0,2pi). Para isso usamos a conversão
r=raizx^2+y^2
e
theta=arctan!l(tfracyxr)
ajustando theta ao quadrante correto.

Passo 2

Calcular o módulo r:
r = raiz3^2 + l(3raiz3r)^2 = raiz9 + 27 = raiz36 = 6

Passo 3

Determinar o ângulo theta para r>0. Primeiro achamos
tantheta = yx = 3raiz33 = raiz3
Da tabela trigonométrica, o valor principal é theta0 = pi/3. Como x>0 e y>0, o ponto está no primeiro quadrante e mantemos
theta = pi/3.
Logo, para r>0 obtemos
(r,theta) = l(6,tfracpi3r)

Passo 4

Para representar o mesmo ponto com r<0, basta tomar r=-6 e adicionar pi ao ângulo para manter a direção. Assim,
theta = pi3 + pi = 4pi3,
que está em [0,2pi). Portanto, para r<0 a coordenada polar é
(r,theta) = l(-6,tfrac4pi3r)

Resposta

(i) ,(r,theta) = l(6,tfracpi3r)
(ii) ,(r,theta) = l(-6,tfrac4pi3r)

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