1-(1,5) Desenvolva a série de Fourier, simplificando-a ao máximo.
f(x)=c-x,-pi <= x<0 x, 0 <= x<pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier periódica (período
O conteúdo é séries de Fourier em ([-π,π]]. Vamos usar a definição dos coeficientes

Passo 2

Observamos que f(-x)=f(x) para todo x, logo f é função par. Por simetria segue
bn=0
e
an=2piintegral0^pixcos(nx),dx

Passo 3

Calculamos a0:
a0=1piintegral-π^πf(x),dx =2piintegral0^pix,dx =2pi,pi^22 =pi

Passo 4

Para n>=1 usamos integração por partes:
integral0^pixcos(nx),dx =l[xsin(nx)nr]0^pi -integral0^pisin(nx)n,dx =1n^2l[(-1)^n-1r]
Logo
an =2pi,(-1)^n-1n^2 = 0,&n par, -dfrac4pi,n^2,&n ímpar í

Passo 5

Então a série de Fourier fica
f(x) =a02+sumn=1^inftyancos(nx) =pi2 -4pisumk=1^inftycosl((2k-1)xr)(2k-1)^2

Resposta

boxedf(x)=pi2 -4pisumk=1^inftycosl((2k-1)xr)(2k-1)^2

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