As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, theta) do ponto, onde r>0 e 0 <= theta<2 pi.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, theta) do ponto, onde r<0 e 0 <= theta<2 pi.
(a) (-4,4)

Passo 1

O enunciado dá o ponto cartesiano (-4,4) e pede suas coordenadas polares (r,theta) em dois casos: (i) com r>0 e ,0<=theta<2pi, (ii) com r<0 e ,0<=theta<2pi. Vamos usar as fórmulas
r = raizx^2+y^2,
theta = arctan!l(tfracyxr)
ajustando o valor de theta conforme o quadrante de (x,y).

Passo 2

Para o caso r>0:
  1. Calcular
r = raiz(-4)^2+4^2 = raiz16+16 = 4raiz2
  1. Como tfracyx = tfrac4-4 = -1, a arctangente dá o ângulo de referência pi/4. Mas o ponto está no segundo quadrante ( x<0,,y>0), logo
theta = pi - pi4 = 3pi4
Portanto, para r>0 temos
(r,theta) = l(4raiz2,,tfrac3pi4r)

Passo 3

Para o caso r<0 mantemos theta tal que (r,theta) aponte para o mesmo local. Partindo de l(4raiz2,tfrac3pi4r), basta usar
r = -4raiz2, theta = 3pi4 + pi = 7pi4,
que está em [0,2pi) e satisfaz
x = rcostheta = -4raiz2cos!l(tfrac7pi4r)=-4, y = rsintheta = -4raiz2sin!l(tfrac7pi4r)=4

Resposta

(i) l(4raiz2,tfrac3pi4r)
(ii) l(-4raiz2,tfrac7pi4r)

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