2(1,5) Utilize a separação de variáveis para determinar, se possível, a solução em forma de produto para a equação de derivadas parciais.
partial upartial x+partial upartial y=2(x+y) u

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de derivadas parciais
partial upartial x+partial upartial y=2(x+y),u
usando separação de variáveis, ou seja, assumindo uma solução do tipo
u(x,y)=X(x),Y(y)
O conteúdo aqui é a técnica de separação de variáveis aplicada a PDEs de primeira ordem.

Passo 2

Supondo u(x,y)=X(x),Y(y), temos
partial upartial x=X'(x),Y(y), partial upartial y=X(x),Y'(y)
Substituindo na PDE,
X'(x),Y(y)+X(x),Y'(y)=2,(x+y),X(x),Y(y)

Passo 3

Dividindo ambos os lados por X(x),Y(y), obtemos
X'(x)X(x)+Y'(y)Y(y)=2,x+2,y
Observe que o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y. Para que essa igualdade seja válida para todo (x,y), cada parte deve ser igual a uma constante, digamos C.

Passo 4

Escrevemos então duas ODEs separadas:
X'(x)X(x)-2,x=C, 2,y-Y'(y)Y(y)=C
Ou seja,
X'(x)X(x)=2,x+C, Y'(y)Y(y)=2,y - C

Passo 5

Integramos cada uma:
Para X:
ln X(x)=integrall(2,x+Cr),dx =x^2+C,x + ln A Longrightarrow X(x)=A,e^,x^2+C,x
Para Y:
ln Y(y)=integrall(2,y - Cr),dy =y^2 - C,y + ln B Longrightarrow Y(y)=B,e^,y^2 - C,y
Aqui A e B são constantes de integração.

Resposta

A solução em forma de produto é
u(x,y)=X(x),Y(y) =A,B,e^,x^2+C,x,e^,y^2 - C,y =K,e^,x^2+y^2 + C,(x-y),
onde K=AB e C são constantes arbitrárias.

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