Utilize a separação de variáveis para determinar, se possível, a solução em forma de produto para a equação de derivadas parciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de derivadas parciais
usando separação de variáveis, ou seja, assumindo uma solução do tipo
O conteúdo aqui é a técnica de separação de variáveis aplicada a PDEs de primeira ordem.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na PDE,
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Observe que o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
. Para que essa igualdade seja válida para todo
, cada parte deve ser igual a uma constante, digamos
.
Passo 4
Escrevemos então duas ODEs separadas:
Ou seja,
Passo 5
Integramos cada uma:
Para :
Para
Para
:
Aqui
e
são constantes de integração.
Resposta
A solução em forma de produto é
onde
e
são constantes arbitrárias.