Se as coordenadas cartesianas de um ponto são (2, y) e suas coordenadas polares (r, 30^{\circ}), determine y and r.

Passo 1

O enunciado informa que um ponto tem coordenadas cartesianas (2,y) e as coordenadas polares (r,30^\circ).
Perguntas que devemos responder: determinar y e determinar r.
Informações fornecidas e incógnitas:
\,x=2 (coordenada cartesiana em x); \,y é desconhecido; \,r é desconhecido; \theta=30^\circ.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar (e entender) como converter entre coordenadas polares e cartesianas. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Explicando cada símbolo: \,r é a distância do ponto à origem (sempre não negativa se escolhermos a representação usual), \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, \,x e \,y são as coordenadas cartesianas do ponto. Aqui \theta=30^\circ.

Passo 3

Usamos a fórmula que liga x, r e \theta. Como sabemos que x=2 e \theta=30^\circ, escrevemos:
2 = r\cos 30^\circ
Agora precisamos do valor de \cos 30^\circ. É um valor trigonométrico padrão:
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Substituindo na equação:
2 = r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}

Passo 4

Isolamos r dividindo ambos os lados por \frac{\sqrt{3}}{2}:
r = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Fazendo a divisão (dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso):
r = 2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.
Para deixar em forma racionalizada (normal em respostas), multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
r = \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.
Tomamos r=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} (positiva), que é a escolha padrão para coordenadas polares aqui.

Passo 5

Agora calculamos y usando a fórmula y = r\sin\theta. Sabemos \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. Então:
y = r\sin 30^\circ = r\cdot\frac{1}{2}.
Substituindo r=\dfrac{4}{\sqrt{3}} (ou \dfrac{4\sqrt{3}}{3}, dá o mesmo resultado):
y = \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
y = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Checagem rápida (para ter certeza): usar r=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} e \theta=30^\circ.
Calcule r\cos 30^\circ:
\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\cdot 3}{3\cdot 2}=\frac{12}{6}=2,
confirma x=2.
Calcule r\sin 30^\circ:
\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
confirma o valor de y encontrado. Tudo consistente — ótimo trabalho!

Resposta

y=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
r=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}

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