Se as coordenadas cartesianas de um ponto são
e suas coordenadas polares
, determine
and
.
Passo 1
O enunciado informa que um ponto tem coordenadas cartesianas
e as coordenadas polares
.
Perguntas que devemos responder: determinar e determinar
.
Informações fornecidas e incógnitas:
(coordenada cartesiana em
);
é desconhecido;
é desconhecido;
.
Perguntas que devemos responder: determinar
Informações fornecidas e incógnitas:
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar (e entender) como converter entre coordenadas polares e cartesianas. As fórmulas de conversão são:
Explicando cada símbolo:
é a distância do ponto à origem (sempre não negativa se escolhermos a representação usual),
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo,
e
são as coordenadas cartesianas do ponto. Aqui
.
Passo 3
Usamos a fórmula que liga
,
e
. Como sabemos que
e
, escrevemos:
Agora precisamos do valor de
. É um valor trigonométrico padrão:
Substituindo na equação:
Passo 4
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Fazendo a divisão (dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso):
Para deixar em forma racionalizada (normal em respostas), multiplicamos numerador e denominador por
:
Tomamos
(positiva), que é a escolha padrão para coordenadas polares aqui.
Passo 5
Agora calculamos
usando a fórmula
. Sabemos
. Então:
Substituindo
(ou
, dá o mesmo resultado):
Racionalizando o denominador:
Passo 6
Checagem rápida (para ter certeza): usar
e
.
Calcule :
Calcule
confirma
.
Calcule :
Calcule
confirma o valor de
encontrado. Tudo consistente — ótimo trabalho!