A massa de uma bola de futebol é 0,4 \mathrm{~kg}. Inicialmente ela se desloca da direita para a esquerda a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, a seguir é chutada, sendo desviada a 45^{\circ} para a direita, com \left|\vec{v}_{2}\right|=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o impulso da força resultante e a força média, supondo que a colisão ocorra durante 0,01 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o impulso da força resultante sofrida pela bola e a força média durante a colisão, sabendo que a colisão dura 0,01\\ \mathrm{s}. Dados fornecidos (peguei-os da imagem/enunciado):
\;m = 0,4\\ \mathrm{kg} (massa da bola).
\;|\vec{v}_1| = 20\\ \mathrm{m/s}, direção: da direita para a esquerda (ou seja, na direção negativa do eixo x).
\;|\vec{v}_2| = 30\\ \mathrm{m/s}, direção: desviado 45^\circ para a direita (ou seja, formando 45^\circ acima do eixo x positivo).
Duração da colisão: \Delta t = 0,01\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Momento linear (ou quantidade de movimento): \vec{p} = m\,\vec{v}, onde m é a massa e \vec{v} a velocidade. Unidade: \mathrm{kg\cdot m/s} (ou \mathrm{N\cdot s}).
  • Impulso da força resultante: \vec{J} = \Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1). Impulso tem mesma unidade do momento. Impulso também pode ser definido por \vec{J}=\displaystyle\int \vec{F}\,dt.
  • Força média durante o intervalo \Delta t: \vec{F}_{\text{méd}} = \dfrac{\vec{J}}{\Delta t}é.
    Vamos trabalhar com componentes cartesianos: eixo x para a direita positivo e eixo y para cima. Isso facilita somar/subtrair vetores.

Passo 3

Escrever as velocidades em componentes (usar trigonometria para \vec{v}_2 porque ela está em 45^\circ).
Inicial: a bola se desloca para a esquerda com 20\\ \mathrm{m/s}, então
\vec{v}_1 = (-20)\,\hat{\imath} + 0\,\hat{\jmath}\quad\mathrm{(m/s)}.
Final: |\vec{v}_2|=30\\ \mathrm{m/s} e ângulo 45^\circ acima do eixo x, assim
\vec{v}_2 = 30\cos45^\circ\,\hat{\imath} + 30\sin45^\circ\,\hat{\jmath}.
Lembrando que \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então podemos escrever
\vec{v}_2 = \dfrac{30}{\sqrt{2}}\,\hat{\imath} + \dfrac{30}{\sqrt{2}}\,\hat{\jmath} = 15\sqrt{2}\,\hat{\imath} + 15\sqrt{2}\,\hat{\jmath}\quad\mathrm{(m/s)}.

Passo 4

Calcular a variação de velocidade \Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1 componente a componente.
Componente x:
\Delta v_x = v_{2x}-v_{1x} = 15\sqrt{2} - (-20) = 15\sqrt{2} + 20.
Componente y:
\Delta v_y = v_{2y}-v_{1y} = 15\sqrt{2} - 0 = 15\sqrt{2}.
Agora valores numéricos (usar \sqrt{2}\approx 1,41421356):
15\sqrt{2}\approx 21,213\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\Delta v_x \approx 21,213 + 20 = 41,213\\ \mathrm{m/s}, \qquad \Delta v_y \approx 21,213\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o impulso \vec{J}=m\,\Delta\vec{v} componente a componente. Usamos m=0,4\\ \mathrm{kg}.
Componente x:
J_x = m\,\Delta v_x = 0,4\cdot 41,213 \approx 16,485\\ \mathrm{N\cdot s}.
Componente y:
J_y = m\,\Delta v_y = 0,4\cdot 21,213 \approx 8,485\\ \mathrm{N\cdot s}.
Podemos arredondar com razoável precisão: J_x\approx 16,49\\ \mathrm{N\cdot s} e J_y\approx 8,49\\ \mathrm{N\cdot s}.
Magnitude do impulso:
|\vec{J}| = \sqrt{J_x^2+J_y^2} \approx \sqrt{16,485^2 + 8,485^2}\approx 18,54\\ \mathrm{N\cdot s}.
Direção do impulso em relação ao eixo x (ângulo acima do eixo x):
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{J_y}{J_x}\right) \approx \arctan\!\left(\dfrac{8,485}{16,485}\right)\approx 27,2^\circ.

Passo 6

Calcular a força média dividindo o impulso pelo intervalo de tempo \Delta t=0,01\\ \mathrm{s}:
Componentes da força média:
F_{x,\text{méd}} = \dfrac{J_x}{\Delta t} \approx \dfrac{16,485}{0,01} \approx 1648,5\\ \mathrm{N},é
F_{y,\text{méd}} = \dfrac{J_y}{\Delta t} \approx \dfrac{8,485}{0,01} \approx 848,5\\ \mathrm{N}.é
Magnitude da força média:
|\vec{F}_{\text{méd}}| = \dfrac{|\vec{J}|}{\Delta t} \approx \dfrac{18,54}{0,01} \approx 1854\\ \mathrm{N}.é
A direção da força média é a mesma do impulso, isto é aproximadamente 27,2^\circ acima do eixo x.

Resposta

\vec{J} \approx (16,49\,\hat{\imath} + 8,49\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N\cdot s} (módulo 18,54\\ \mathrm{N\cdot s}, direção \approx 27,2^\circ acima do eixo x).
\vec{F}_{\text{méd}} \approx (1648,5\,\hat{\imath} + 848,5\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N}é (módulo \approx 1854\\ \mathrm{N}, direção \approx 27,2^\circ acima do eixo x).

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