Em coordenadas cartesianas, no volume compreendido entre z=-a / 2 e z=a / 2 temos uma densidade volumétrica de cargas rho e varepsilon=varepsilon0. Fora deste volume não há cargas. Calcule E e V dentro e fora do volume.

Passo 1

Beleza, temos um “bloco” infinito de carga uniforme (densidade volumétrica ρ) que vai de z=–a/2 até z=+a/2, e fora disso não tem carga. A gente quer achar o campo elétrico E(z) e o potencial V(z) dentro (|z|≤a/2) e fora (|z|>a/2). A matéria é Eletrostática:
  • Usamos a Lei de Gauss para achar o campo (porque há simetria de plano infinito, então E só depende de z).
  • Depois obtemos o potencial por V(z)=–∫E·dz, escolhendo V(0)=0 como referência.

Passo 2

(Lei de Gauss dentro do bloco)
Para |z|≤a/2, escolho um “cilindro” Gaussiano centrado na origem, de base A e altura 2z (entre –z e +z).
  1. Fluxo: Φ=E(z)·A + E(–z)·A = 2E(z)A (por simetria E(–z)=–E(z), mas as áreas “apontam” em direções opostas, resultando em soma de magnitudes).
  2. Carga dentro: Q_int = ρ·(A·z + A·z) mas, pensando só na metade superior, a carga até z é ρ·A·z. Pela simetria, tomamos só uma face e colocamos fator 2 no fluxo:
    ∮E·dA = Q_enc/ε₀ ⇒ 2E(z)·A = (ρ·A·z)/ε₀.
    Logo
    E(z) = ρ z/(2ε₀).
    Mas cuidado: esse fator 2 já contou as duas faces, então na verdade
    E(z) = ρ z/ε₀.
    O sinal diz que o campo aponta para +z quando z>0 e para –z quando z<0.

Passo 3

(Lei de Gauss fora do bloco)
Para |z|>a/2, se meu cilindro se estende de –z até +z, a carga total encaixada é Q_enc = ρ·A·a (toda a espessura a).
Fluxo total = 2E(>a/2)·A = Q_enc/ε₀ ⇒
E = ρ a/(2ε₀).
De novo, aponta para fora do bloco:
E(z) = (ρ a/(2ε₀))·sign(z)·ẑ.

Passo 4

(Potencial dentro do bloco)
A relação é E_z = –dV/dz. Vamos integrar de 0 até z, tomando V(0)=0:
V(z) = –∫₀ᶻ E(z′)dz′ = –∫₀ᶻ (ρ z′/ε₀)dz′
= –(ρ/(ε₀))·(z²/2)|₀ᶻ
= –ρ z²/(2ε₀), para |z|≤a/2.

Passo 5

(Potencial fora do bloco)
Para z>a/2:
  1. Em z=a/2, V = –ρ(a/2)²/(2ε₀) = –ρ a²/(8ε₀).
  2. Depois, de a/2 até z, E é constante = ρ a/(2ε₀), então
    V(z) = V(a/2) – ∫_{a/2}^z E dz′
    = –ρ a²/(8ε₀) – (ρ a/(2ε₀))(z – a/2)
    = – (ρ a/(2ε₀)) z + ρ a²/(8ε₀).
    Para z<–a/2 é análogo, trocando z por |z|.

Resposta

E(z) =
(ρ/ε₀),z,ẑ, & |z| ≤ a/2, (ρ,a/(2ε₀)),sign(z),ẑ, & |z| > a/2;
V(z) (com V(0)=0) =
-,dfracρ,z^22ε₀, & |z| ≤ a/2, -,dfracρ,a2ε₀,|z| ;+;dfracρ,a^28ε₀, & |z| > a/2

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