Em coordenadas cartesianas, no volume compreendido entre
e
temos uma densidade volumétrica de cargas
e
. Fora deste volume não há cargas. Calcule
e
dentro e fora do volume.
Passo 1
Beleza, temos um “bloco” infinito de carga uniforme (densidade volumétrica ρ) que vai de z=–a/2 até z=+a/2, e fora disso não tem carga. A gente quer achar o campo elétrico E(z) e o potencial V(z) dentro (|z|≤a/2) e fora (|z|>a/2). A matéria é Eletrostática:
- Usamos a Lei de Gauss para achar o campo (porque há simetria de plano infinito, então E só depende de z).
- Depois obtemos o potencial por V(z)=–∫E·dz, escolhendo V(0)=0 como referência.
Passo 2
(Lei de Gauss dentro do bloco)
Para |z|≤a/2, escolho um “cilindro” Gaussiano centrado na origem, de base A e altura 2z (entre –z e +z).
Para |z|≤a/2, escolho um “cilindro” Gaussiano centrado na origem, de base A e altura 2z (entre –z e +z).
- Fluxo: Φ=E(z)·A + E(–z)·A = 2E(z)A (por simetria E(–z)=–E(z), mas as áreas “apontam” em direções opostas, resultando em soma de magnitudes).
- Carga dentro: Q_int = ρ·(A·z + A·z) mas, pensando só na metade superior, a carga até z é ρ·A·z. Pela simetria, tomamos só uma face e colocamos fator 2 no fluxo:
∮E·dA = Q_enc/ε₀ ⇒ 2E(z)·A = (ρ·A·z)/ε₀.
Logo
E(z) = ρ z/(2ε₀).
Mas cuidado: esse fator 2 já contou as duas faces, então na verdade
E(z) = ρ z/ε₀.
O sinal diz que o campo aponta para +z quando z>0 e para –z quando z<0.
Passo 3
(Lei de Gauss fora do bloco)
Para |z|>a/2, se meu cilindro se estende de –z até +z, a carga total encaixada é Q_enc = ρ·A·a (toda a espessura a).
Fluxo total = 2E(>a/2)·A = Q_enc/ε₀ ⇒
E = ρ a/(2ε₀).
De novo, aponta para fora do bloco:
E(z) = (ρ a/(2ε₀))·sign(z)·ẑ.
Para |z|>a/2, se meu cilindro se estende de –z até +z, a carga total encaixada é Q_enc = ρ·A·a (toda a espessura a).
Fluxo total = 2E(>a/2)·A = Q_enc/ε₀ ⇒
E = ρ a/(2ε₀).
De novo, aponta para fora do bloco:
E(z) = (ρ a/(2ε₀))·sign(z)·ẑ.
Passo 4
(Potencial dentro do bloco)
A relação é E_z = –dV/dz. Vamos integrar de 0 até z, tomando V(0)=0:
V(z) = –∫₀ᶻ E(z′)dz′ = –∫₀ᶻ (ρ z′/ε₀)dz′
= –(ρ/(ε₀))·(z²/2)|₀ᶻ
= –ρ z²/(2ε₀), para |z|≤a/2.
A relação é E_z = –dV/dz. Vamos integrar de 0 até z, tomando V(0)=0:
V(z) = –∫₀ᶻ E(z′)dz′ = –∫₀ᶻ (ρ z′/ε₀)dz′
= –(ρ/(ε₀))·(z²/2)|₀ᶻ
= –ρ z²/(2ε₀), para |z|≤a/2.
Passo 5
(Potencial fora do bloco)
Para z>a/2:
Para z>a/2:
- Em z=a/2, V = –ρ(a/2)²/(2ε₀) = –ρ a²/(8ε₀).
- Depois, de a/2 até z, E é constante = ρ a/(2ε₀), então
V(z) = V(a/2) – ∫_{a/2}^z E dz′
= –ρ a²/(8ε₀) – (ρ a/(2ε₀))(z – a/2)
= – (ρ a/(2ε₀)) z + ρ a²/(8ε₀).
Para z<–a/2 é análogo, trocando z por |z|.
Resposta
E(z) =
V(z) (com V(0)=0) =