Demonstre que r^n sen n theta, r^n cos -n theta e a soma destes termos é a solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e em duas dimensões ( n é um inteiro positivo ou negativo).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que as funções
f1(r,theta)=r^nsin(ntheta), f2(r,theta)=r^ncos(-ntheta)
e a soma delas são solução da equação de Laplace em coordenadas polares (cilíndricas 2D).
Conteúdo que vamos usar:
  1. A forma da equação de Laplace em polares:
nabla^2 f = partial^2 fpartial r^2 + 1r,partial fpartial r + 1r^2,partial^2 fpartial theta^2 = 0
  1. Derivadas parciais de e .

Passo 2

Vamos começar com partial f1partial r = n,r^n-1,sin(ntheta), .
  1. Derivada em relação a partial^2 f1partial r^2 = n(n-1),r^n-2,sin(ntheta) :
partial f1partial theta = r^ncdot ncos(ntheta),
  1. Segunda derivada em partial^2 f1partial theta^2 = -n^2,r^n,sin(ntheta) :
  1. Derivada em relação a :
  1. Segunda derivada em :

Passo 3

Agora juntamos tudo na fórmula de Laplace:
nabla^2 f1 = n(n-1)r^n-2sin(ntheta) + 1rl(nr^n-1sin(ntheta)r) + 1r^2l(-n^2r^nsin(ntheta)r)
Agrupando os fatores de nabla^2 f1 = l[n(n-1) + n - n^2r]r^n-2sin(ntheta) = (n^2 - n + n - n^2),r^n-2sin(ntheta) = 0 :
Pronto: , então é harmônica.

Passo 4

Para , note que .
Se repetir o mesmo cálculo das derivadas, a conta dá exatamente igual, só trocando por .
Logo .

Passo 5

Como a equação de Laplace é linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução.
Assim satisfaz .

Resposta

As funções , e sua soma satisfazem em coordenadas cilíndricas 2D, ou seja, são soluções da equação de Laplace.

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