Demonstre que
e a soma destes termos é a solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e em duas dimensões (
é um inteiro positivo ou negativo).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que as funções
e a soma delas são solução da equação de Laplace em coordenadas polares (cilíndricas 2D).
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- A forma da equação de Laplace em polares:
- Derivadas parciais de
e .
Passo 2
Vamos começar com
.
- Derivada em relação a
:
- Segunda derivada em
:
- Derivada em relação a
:
- Segunda derivada em
:
Passo 3
Agora juntamos tudo na fórmula de Laplace:
Agrupando os fatores de
:
Pronto:
, então
é harmônica.
Passo 4
Para
, note que
.
Se repetir o mesmo cálculo das derivadas, a conta dá exatamente igual, só trocando por
.
Logo .
Se repetir o mesmo cálculo das derivadas, a conta dá exatamente igual, só trocando
Logo
Passo 5
Como a equação de Laplace é linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução.
Assim satisfaz
.
Assim
Resposta
As funções
,
e sua soma satisfazem
em coordenadas cilíndricas 2D, ou seja, são soluções da equação de Laplace.