Considere um cilindro infinito de raio R. Assumindo uma densidade volumétrica de carga rho uniforme no mesmo, calcule E e V dentro e fora do cilindro. Assuma varepsilonr=1 dentro e fora do cilindro.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre um cilindro infinito de raio com densidade volumétrica uniforme . A gente quer achar o campo elétrico e o potencial tanto para (dentro) quanto para (fora). O conteúdo aqui é Lei de Gauss (pra ) e definição de potencial elétrico via integral de . Como , basta usar .

Passo 2

Campo elétrico dentro ( oint Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0 ).
  1. Escolhe superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio oint Ecdot dA =E(r),(2pi r L) e comprimento E(r),2pi r L = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=rho,r2varepsilon0 .
  2. Lei de Gauss:
E(r)=rho,r2varepsilon0,hat r, r
  1. Fluxo: é radial e constante na superfície lateral, então
  1. Carga interna: .
  2. Logo
Em vetor:

Passo 3

Campo elétrico fora ( E(r),2pi r L=rho,pi R^2 Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=rho,R^22varepsilon0,r ).
  1. Mesma ideia, superfície de raio E(r)=rho,R^22varepsilon0,r,hat r, r>R .
  2. Carga interna é toda do cilindro: .
  3. Fluxo: .
  4. Da Gauss:
Em vetor:

Passo 4

Potencial fora ( V(r)-V(R)=-integralR^r Ecdot dl =-integralR^rE(r'),dr' ).
Como o cilindro é infinito, a gente não pode zero em V(r) =-rho R^22varepsilon0integralR^rdr'r' =-rho R^22varepsilon0ln!l(rRr) =rho R^22varepsilon0ln!l(Rrr) (dá infinito!), então escolhe referência .
Definição:
Para , , então

Passo 5

Potencial dentro ( E(r')=rho,r'2varepsilon0 ;Longrightarrow; V(r) =-integralR^rrho,r'2varepsilon0,dr' =-rho4varepsilon0l(r^2-R^2r) =rho4varepsilon0,(R^2 - r^2) ).
De novo , agora

Resposta

Então, resumindo:
  1. Campo elétrico
E(r)= dfracrho,r2varepsilon0,hat r, & rR
  1. Potencial (com V(r)= dfracrho4varepsilon0,(R^2 - r^2), & rR )

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