Em coordenadas cilíndricas, para campos que não variam com z , as equações das linhas de força são obtidas resolvendo-se a equação diferencial Erhod rho=E phirho d phi. Assim sendo, determine a equação da linha que passa pelo ponto (2,30^circ, 0) para o campo E=rho cos 2 varphi arho-rho sen 2 varphi avarphi.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um campo elétrico em coordenadas cilíndricas

e ele não varia com .
Conteúdo da matéria: linhas de força em coordenadas cilíndricas
e resolução de equações diferenciais (separação de variáveis e integração).
O que vamos precisar:
• Escrever a equação diferencial das linhas de força
• Separar variáveis e integrar
• Usar a condição inicial

Passo 2

A equação diferencial geral para linhas de força (campo independente de Erhodrho ;=;Evarphirho,dvarphi ) é
drhoErho ;=;rho,dvarphiEvarphi
que é equivalente a
drhorhocos2varphi ;=; rho,dvarphi-rhosen2varphi ;;Longrightarrow;; drhorho ;=; -cos2varphisen2varphi,dvarphi ;=; -cot2varphi,dvarphi
Agora, colocamos e :

Passo 3

Agora a gente separa direitinho e integra dos dois lados:
integral 1rho,drho ;=; -integral cot2varphi,dvarphi
Lembrando que integral 1rho,drho = ln|rho| + C1, -integral cot2varphi,dvarphi = -tfrac12lnl|sen2varphir| + C2 e
lnrho ;=; -tfrac12lnl|sen2varphir| + C , mas há um fator 2 dentro do .
Então
Juntando e redefinindo a constante :

Passo 4

A gente agora tira o logaritmo pra fora:
Exponentiando:

Passo 5

Usamos a condição inicial K = rho0,raizsen2varphi0 = 2,raiztfracraiz32 = 2,raizsen60^circ .
Para , .
Então

Resposta

A equação da linha de força que passa por boxedrho,raizsen2varphi ;=; 2,raizsen60^circ é

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