(a) Determine a forma geral da equação das linhas de força do campo E=10 xy ax+5 x^2 ay.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a forma geral das linhas de força do campo
vec E = 10,x,y,hat ax ;+;5,x^2,hat ay
Isso é matéria de eletromagnetismo/vetores: linhas de força são as curvas cuja tangente em cada ponto tem direção do vetor dydx ;=;EyEx, . Pra resolver, vamos usar a relação diferencial
e em seguida integrar direitinho.

Passo 2

Escrevendo Ex = 10,x,y, Ey = 5,x^2 e dydx ;=;EyEx ;=;5,x^210,x,y ;=;x2,y :
Logo, pela definição de linha de força,

Passo 3

Agora temos uma equação diferencial simples:
dydx = x2y
Isso é uma ODE separável. A ideia é colocar todos os de um lado e todos os do outro.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por 2y,dy = x,dx :
Pronto, variáveis separadas.

Passo 5

Integro os dois lados:
integral 2y,dy = integral x,dx ;Longrightarrow; y^2 = x^22 + C,
onde é a constante de integração.

Passo 6

Pra deixar mais “bonitinho”, multiplico tudo por 2:
2,y^2 = x^2 + C',
ou reorganizando,
x^2 - 2,y^2 = K,
sendo uma constante qualquer.

Resposta

A forma geral das linhas de força é
boxedx^2 ;-;2,y^2 = constante

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