Um campo é definido por
. Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um campo vetorial
e quer a equação da linha de força que passa pelo ponto
.
Isso é um problema de curvas integrais (linhas de força) de um campo vetorial, que a gente resolve usando a relação
Isso é um problema de curvas integrais (linhas de força) de um campo vetorial, que a gente resolve usando a relação
Passo 2
Primeiro, escrevemos as componentes do campo:
Então a condição de linhas de força é
Repara que
só faz sentido se
. Ou seja, ao longo da curva
não muda:
Como a linha passa por
, a gente já sabe que
para toda a curva.
Passo 3
Agora focamos em
e
. Igualando as frações que envolvem
e
:
A gente pode simplificar os 2’s e separar variáveis:
Passo 4
Esse é um ODE separável. A gente reescreve como
e depois integra dos dois lados:
Multiplicando tudo por 2 e definindo
:
Passo 5
Agora achamos
usando o ponto inicial
. Para
e
:
Resposta
A equação da linha de força que passa em
é dada por