Um campo é definido por E=2 x z^2 ax+2 z(x^2+1) az. Determine a equação da linha de força que passa pelo ponto (1,3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um campo vetorial
vec E = 2,x,z^2, ax ;+; 2,z,(x^2+1), az
e quer a equação da linha de força que passa pelo ponto dxEx ;=;dyEy;=;dzEz .
Isso é um problema de curvas integrais (linhas de força) de um campo vetorial, que a gente resolve usando a relação

Passo 2

Primeiro, escrevemos as componentes do campo:
Ex = 2,x,z^2, Ey = 0, Ez = 2,z,(x^2+1)
Então a condição de linhas de força é
dx2xz^2 ;=;dy0;=;dz2z(x^2+1)
Repara que y = constante só faz sentido se y = 3 . Ou seja, ao longo da curva não muda:
Como a linha passa por , a gente já sabe que
para toda a curva.

Passo 3

Agora focamos em dx2,x,z^2 ;=;dz2,z,(x^2+1) e dxx,z^2 = dzz,(x^2+1) Longrightarrow dzdx = x^2+1x,z . Igualando as frações que envolvem e :
A gente pode simplificar os 2’s e separar variáveis:

Passo 4

Esse é um ODE separável. A gente reescreve como
z,dz = x^2+1x,dx
e depois integra dos dois lados:
integral z,dz = integral l(x + 1xr)dx ;;Longrightarrow;; z^22 = x^22 + ln|x| + C
Multiplicando tudo por 2 e definindo z^2 = x^2 + 2ln|x| + C' :

Passo 5

Agora achamos (-1)^2 = 1^2 + 2ln|1| + C' Longrightarrow 1 = 1 + 0 + C' Longrightarrow C' = 0 usando o ponto inicial . Para e :

Resposta

A equação da linha de força que passa em boxedy = 3, z^2 = x^2 + 2lnlvert xrvert é dada por

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