A superfície quadrada -1 <= x <= 1,-1 <= y <= 1, z=0 está carregada com rhoS=|x| nC / m^2. Determine E no ponto (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem uma placa quadrada em rhoS(x,y)=|x|;nC/m^2 , com vec E(vec r)=14pivarepsilon0integral duplaS sigma(vec r');dA;(vec r-vec r')|vec r-vec r'|^3 e . Nessa placa a densidade de carga é
O objetivo é achar o campo elétrico no ponto . Isso faz parte de Eletrostática, mais especificamente de como calcular gerado por uma distribuição contínua de carga. Para resolver, vamos usar a Lei de Coulomb no formato de integral de superfície:

Passo 2

Agora montamos a integral. Seja sigma(x,y)=|x|times10^-9,C/m^2, o ponto onde queremos o campo, e vec R=vec r-vec r'=(0-x,0-y,1-0)=(-x,,-y,,1), um ponto genérico na placa. A densidade é
vec E(0,0,1) =14pivarepsilon0integral-1^1!!integral-1^1 |x|,10^-9,(-x,-y,1)(x^2+y^2+1)^3/2,dx,dy
e . O vetor de separação é
com . Então a integral fica

Passo 3

Por simetria em Ez =10^-94pivarepsilon0 integral-1^1!integral-1^1 |x|;1(x^2+y^2+1)^3/2,dy,dx e em integral-1^1dy(x^2+y^2+1)^3/2 =2;1(x^2+1)raizx^2+2 (note que Ez =10^-94pivarepsilon0 integral-1^1|x|;2(x^2+1)raizx^2+2,dx é par em ), os componentes e somam zero. Só sobra :
Aí dá para separar a integral em primeiro:
Logo

Passo 4

Usando que Ez =10^-94pivarepsilon0;2;integral0^1 2,x(x^2+1)raizx^2+2,dx =4cdot10^-94pivarepsilon0 integral0^1 x(x^2+1)raizx^2+2,dx é par, dá pra ir de 0 a 1 e multiplicar por 2:
12integraldt(t+1)raizt+2
Para resolver
, fazemos , vira
Substituindo , chega-se a
.

Passo 5

Voltando às variáveis e aplicando os limites integral0^1x,dx(x^2+1)raizx^2+2 =12[ lnraiz3-1raiz3+1 -lnraiz2-1raiz2+1 ] (que correspondem a Ez =4times10^-94pivarepsilon0; 12[lnraiz3-1raiz3+1-lnraiz2-1raiz2+1] ), obtemos
Então
Bastou só pôr e calcular o logaritmo.

Resposta

Numericamente isso dá
Ezapprox8,06;N/C,
portanto
boxedvec E(0,0,1)approx 8,06,hat k;N/C

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