Em coordenadas cilíndricas uma hélice pode ser definida pela equação r=5(m) e z=\frac{4}{20 \pi}. Considere uma corrente filamentar de 1 A fluindo nessa hélice. Calcule \|\oint \vec{H} \overrightarrow{d P}\| para cada um dos seguintes percursos:
Segmentos de linhas retas (0,0,0) até (0,5,0) até (2,0,-10) até (2,0,10) até (0,0,0);

Passo 1

O enunciado nos dá uma hélice filamentar de corrente I=1\\ \text{A} descrita em coordenadas cilíndricas por
r=5,\quad z=\frac{4}{20\pi}\,\theta,
isto é, em coordenadas cartesianas
\bigl(x(\theta),y(\theta),z(\theta)\bigr) =\bigl(5\cos\theta,\;5\sin\theta,\;{\tfrac{4}{20\pi}}\theta\bigr).
Pede-se o valor de
\Bigl\|\oint_{L}\vec H\cdot d\vec P\Bigr\|
para o caminho fechado L que passa pelos pontos (0,0,0)\to(0,5,0)\to(2,0,-10)\to(2,0,10)\to(0,0,0).
O conteúdo é a Lei de Ampère (circuital): a circulação de \vec H em um laço vale a corrente livre que este laço encerra.

Passo 2

Escrevendo a Lei de Ampère para um laço L:
\oint_{L}\vec H\cdot d\vec \ell = I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente livre “ameaçada” pelo laço. Como temos uma única corrente filamentar, I_{\text{enc}}=n\,I, sendo n o número de vezes que a hélice atravessa qualquer superfície cujo contorno seja L.

Passo 3

Para determinar n, basta verificar se o laço L “envolve” a hélice ou não. Uma forma prática é projetar L no plano xy e calcular o número de voltas em torno da origem (eixo z):
  • Os pontos do laço em xy são (0,0), (0,5), (2,0) e volta a (0,0).
  • Essa projeção é um triângulo que tem um vértice na origem, não dando uma volta completa em torno dela.
Logo o laço não circunda o eixo z nem “fura” o fio da hélice.

Passo 4

Como o laço não envolve a hélice, o número de enlaces é
n=0 \quad\Longrightarrow\quad I_{\text{enc}}=0\cdot I=0.
Portanto, pela Lei de Ampère,
\oint_{L}\vec H\cdot d\vec \ell =0.

Resposta

\Bigl\|\oint_{L}\vec H\cdot d\vec P\Bigr\|=0.

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