Uma corrente total de 5 A flui para baixo(na direção -\hat{z} ) em um cilindro infinito de raio r=0,5 \mathrm{~m}, como uma superficie uniforme para um plano condutor z=0 de extensão infinita. Uma corrente de 3 A flui para cima, em um filamento no eixo z negativo, para o mesmo plano condutor. Encontre \vec{B} em todo o espaço usando a lei circuital de Ampère.

Passo 1

O enunciado descreve dois condutores ligados a um plano metálico infinito em z=0:
– Um “tubo” cilíndrico de raio a=0,5\>\mathrm{m} em que flui uma corrente total de 5\>\mathrm{A} para baixo (direção -\hat z), começando em z=0 e indo até z=-\infty.
– Um filamento no eixo z negativo, em que flui uma corrente de 3\>\mathrm{A} para cima (direção +\hat z), também terminando em z=0.
O plano z=0 faz a junção das correntes. Queremos \vec B(\,r,z) em todo o espaço usando a lei de Ampère. Pela simetria cilíndrica, \vec B só tem componente azimutal \hat\varphi e depende de (r,z).

Passo 2

Analisemos primeiro z>0. Acima do plano não há condutores verticais: toda corrente inicia/termina em z=0. Se traçamos uma linha de Ampère circular de raio arbitrário em z>0, não atravessamos correntes. Pela lei de Ampère
\oint \vec B\cdot d\vec\ell = \mu_0 I_{\rm enc}=0
logo \vec B=0 em toda a região z>0.

Passo 3

Agora para z<0. Considere um laço circular de raio r centrado no eixo, em um plano z= constante negativo. Pela simetria
\oint \vec B\cdot d\vec\ell = B_\varphi(r)\,(2\pi r)
e isso deve ser igual a \mu_0 I_{\rm enc}, onde I_{\rm enc} é a soma algébrica das correntes verticais que atravessam a superfície limitada por esse laço.

Passo 4

Caso r<a=0,5\>\mathrm{m}: o laço envolve apenas o filamento de 3\>\mathrm{A} para cima. Tomando como positivo o sentido \hat z, temos I_{\rm enc}=+3\>\mathrm{A}. Assim
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_0\,(3) \quad\Longrightarrow\quad B_\varphi(r)=\frac{\mu_0\,3}{2\pi\,r},
e \vec B=\displaystyle\frac{\mu_0\,3}{2\pi\,r}\,\hat\varphi para z<0 e r<0,5.

Passo 5

Caso r>a=0,5\>\mathrm{m}: o laço agora envolve o filamento de 3\>\mathrm{A} para cima e o cilindro de 5\>\mathrm{A} para baixo. Tomando correntes para cima como positivas e para baixo como negativas,
I_{\rm enc}=+3 +(-5)=-2\>\mathrm{A}.
Então
B_\varphi(r)\,(2\pi r)=\mu_0\,(-2) \quad\Longrightarrow\quad B_\varphi(r)=-\frac{\mu_0\,2}{2\pi\,r}=-\frac{\mu_0}{\pi\,r}.
O sinal “–” indica que \vec B está no sentido -\hat\varphi. Portanto
\vec B=-\frac{\mu_0\,2}{2\pi\,r}\,\hat\varphi \quad\text{para }z<0\text{ e }r>0,5\,.

Resposta

Para z>0:
\vec B(r,z)=0.
Para z<0:
\vec B(r,z)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\mu_0\,3}{2\pi\,r}\,\hat\varphi,& r<0,5\>\mathrm{m},\\[6pt] \displaystyle-\frac{\mu_0\,2}{2\pi\,r}\,\hat\varphi,& r>0,5\>\mathrm{m}. \end{cases}]

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