Um filamento tem o formato de um círculo de raio a, centrado na origem no plano z=0. Por ele circula uma corrente I na direção \hat{\varphi}. Calcule \vec{B} na origem.

Passo 1

O enunciado descreve um filamento circular de raio a no plano z=0, centrado na origem, percorrido por uma corrente I no sentido \hat\varphi. Queremos encontrar \vec B no ponto central (origem) usando a lei de Biot–Savart.

Passo 2

A lei de Biot–Savart diz que, em ponto \vec r,
\vec B(\vec r) = \frac{\mu_{0}\,I}{4\pi} \int \frac{d\vec l\times(\vec r - \vec r')}{\lvert \vec r - \vec r'\rvert^{3}}.
Aqui tomamos \vec r = \mathbf0 e, em cada elemento do laço, \vec r' = a\,\hat r.

Passo 3

Num elemento de fio temos
d\vec l = a\,d\varphi\,\hat\varphi, \qquad \vec r - \vec r' = -\,a\,\hat r, \qquad \lvert \vec r - \vec r'\rvert^{3} = a^{3}.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial no integrando:
d\vec l\times(\vec r-\vec r') = a\,d\varphi\,\hat\varphi \times (-a\,\hat r) = -\,a^{2}\,d\varphi\;(\hat\varphi\times\hat r).
Como \hat r\times\hat\varphi=\hat z implica \hat\varphi\times\hat r=-\hat z, segue
d\vec l\times(\vec r-\vec r') = -\,a^{2}\,d\varphi\,(-\hat z) = a^{2}\,d\varphi\,\hat z.

Passo 5

Substituindo na integral de Biot–Savart:
\vec B(0) = \frac{\mu_{0}I}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\frac{a^{2}\,d\varphi\,\hat z}{a^{3}} = \frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\,\hat z \int_{0}^{2\pi}\!d\varphi = \frac{\mu_{0}I}{2a}\,\hat z.

Resposta

\displaystyle \vec B(0)=\frac{\mu_{0}I}{2a}\,\hat z.

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