Um refletor, com 10 m de diâmetro e razão F/D de 0,5 , opera em 3 GHz . O refletor é alimentado por uma antena cujo diagrama primário é simétrico e pode ser aproximado por \mathrm{F}_{f}\left(\theta_{f}\right)=6 \cos ^{2} \theta_{f}. Para este refletor, determine
a) A eficiência de iluminação \varepsilon_{i}
b) Determine o ganho da antena, assumindo \varepsilon_{r}=\varepsilon_{a}=1.
c) Determine a diretividade D_{u}.

Passo 1

O enunciado é sobre um refletor parabólico de diâmetro D=10 m e razão F/D=0,5 operando em frequência f=3 GHz, alimentado por um filamento com diagrama de potência primário F_{f}(\theta_{f})=6\cos^{2}\theta_{f}. Precisamos calcular:
a) a eficiência de iluminação \varepsilon_{i},
b) o ganho da antena supondo \varepsilon_{r}=\varepsilon_{a}=1,
c) a diretividade D_{u}.

Passo 2

Determinar parâmetros geométricos do refletor.
O foco é F = (F/D)\,D = 0,5\times10 = 5 m.
O raio da parábola é R=D/2=5 m.
O ângulo de semi-iluminação \theta_{0} satisfaz \tan\theta_{0}=R/F=5/5=1, logo
\theta_{0}=45^\circ.

Passo 3

Expressão de \varepsilon_{i} via integrais sobre a abertura.
Normalizando o diagrama de amplitude do filamento em boresight:
a amplitude relativa é
e(\theta_{f})=\frac{\sqrt{F_{f}(\theta_{f})}}{\sqrt{F_{f}(0)}} =\frac{\sqrt{6}\cos\theta_{f}}{\sqrt{6}}=\cos\theta_{f}.
Num ponto de coordenada radial \rho na abertura, \theta_{f}=\arctan(\rho/F), então
E_{a}(\rho)=\cos\bigl(\arctan(\rho/F)\bigr) =\frac{F}{\sqrt{F^{2}+\rho^{2}}}.
As integrais são
N=2\pi\int_{0}^{R}E_{a}(\rho)\,\rho\,d\rho =2\pi F\int_{0}^{R}\frac{\rho}{\sqrt{F^{2}+\rho^{2}}}\,d\rho
D=2\pi\int_{0}^{R}E_{a}^{2}(\rho)\,\rho\,d\rho =2\pi F^{2}\int_{0}^{R}\frac{\rho}{F^{2}+\rho^{2}}\,d\rho
e a eficiência de iluminação é
\varepsilon_{i} =\frac{N^{2}}{A\,D}, \quad A=\pi R^{2}.

Passo 4

Cálculo das integrais.
Para N: com u=F^{2}+\rho^{2},
N=2\pi F\Bigl[\sqrt{F^{2}+\rho^{2}}\Bigr]_{0}^{R} =2\pi F\bigl(\sqrt{F^{2}+R^{2}}-F\bigr).
Para D: com v=F^{2}+\rho^{2},
D=\pi F^{2}\ln\frac{F^{2}+R^{2}}{F^{2}}.
Substituindo em \varepsilon_{i}=N^{2}/(\pi R^{2}D) e usando R=F,
\varepsilon_{i} =\frac{4\bigl(\sqrt{F^{2}+F^{2}}-F\bigr)^{2}} {F^{2}\,\ln\!\bigl(\tfrac{2F^{2}}{F^{2}}\bigr)} =\frac{4\bigl(F(\sqrt2-1)\bigr)^{2}}{F^{2}\ln2} =\frac{4(\sqrt2-1)^{2}}{\ln2}.

Passo 5

Avaliação numérica de \varepsilon_{i}. \sqrt2-1\approx0,4142, (\sqrt2-1)^{2}\approx0,1716.
Logo
\varepsilon_{i} =\frac{4\times0,1716}{0,6931}\approx0,99.

Passo 6

Diretividade D_{u}.
Para refletor de área A=\pi(R)^{2}=\pi(5)^{2}=25\pi e comprimento de onda \lambda=c/f=0,1 m,
D_{u}=\frac{4\pi A}{\lambda^{2}} =\frac{4\pi\times25\pi}{(0,1)^{2}} =10000\pi^{2}\approx9{,}87\times10^{4}.

Passo 7

Ganho da antena G com \varepsilon_{r}=\varepsilon_{a}=1.
G=\varepsilon_{i}\,D_{u} \approx0,99\times9{,}87\times10^{4} \approx9{,}77\times10^{4}.

Resposta

a) \displaystyle \varepsilon_{i}\approx0{,}99
b) \displaystyle G\approx9{,}77\times10^{4} (linear) \approx49{,}9 dBi
c) \displaystyle D_{u}\approx9{,}87\times10^{4} (linear) \approx49{,}9 dBi

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