Determine a derivada de
em relação à variável independente dada. (Dica: use a derivação logarítmica).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar a derivada de
em relação à variável independente (ou seja, calcular ). - Dá: a função
Observações úteis que já podemos notar sem calcular: para usar
confortavelmente durante o processo, vamos supor
(mais abaixo eu comento rapidamente sobre o que acontece para outros
).
Passo 2
Estratégia geral (sem começar a calcular ainda): a função é uma exponencial composta. Quando se tem uma função da forma
, usamos a regra da cadeia:
Aqui
. Então primeiro vamos calcular
e depois multiplicar por
.
Passo 3
Calcular
para
. Isso é simples se soubermos a derivada de
. Definimos
então
e
Resta, portanto, encontrar
.
Passo 4
Derivando
por diferenciação logarítmica (a dica do enunciado). A ideia: aplicar logaritmo natural para transformar potência com variável na base e no expoente em produto, o que facilita a diferenciação.
Começamos escrevendo
Usando a identidade
(válida quando
), obtemos
Passo 5
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos derivada de
que é
(regra da cadeia). No lado direito aplicamos regra do produto em
:
Passo 6
Isolando
obtemos
Mas
, logo
Passo 7
Voltando para
, temos
Passo 8
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Usando o resultado do Passo 2 e o valor de
do Passo 7:
Passo 9
Arrumando a expressão (colocando o sinal na frente e fatorando se quiser):
Observação final sobre domínio: essa dedução usou
, então é diretamente válida para
. Para valores de
não positivos a expressão
e
exigem cuidados (pontos isolados ou valores complexos), e normalmente em problemas de cálculo tomamos
.