Determine a derivada de y em relação à variável independente dada. (Dica: use a derivação logarítmica).
y=\mathrm{e}^{-\theta^{\theta}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a derivada de y em relação à variável independente (ou seja, calcular \dfrac{dy}{d\theta}).
  • Dá: a função
y=\mathrm{e}^{-\theta^{\theta}}.
Observações úteis que já podemos notar sem calcular: para usar \ln\theta confortavelmente durante o processo, vamos supor \theta>0 (mais abaixo eu comento rapidamente sobre o que acontece para outros \theta).

Passo 2

Estratégia geral (sem começar a calcular ainda): a função é uma exponencial composta. Quando se tem uma função da forma \mathrm{e}^{u(\theta)}, usamos a regra da cadeia:
\text{se }y=\mathrm{e}^{u(\theta)}\quad\text{então}\quad \frac{dy}{d\theta}=\mathrm{e}^{u(\theta)}\cdot u'(\theta).ã
Aqui u(\theta)=-\theta^{\theta}. Então primeiro vamos calcular u'(\theta) e depois multiplicar por \mathrm{e}^{u(\theta)}.

Passo 3

Calcular u'(\theta) para u(\theta)=-\theta^{\theta}. Isso é simples se soubermos a derivada de \theta^{\theta}. Definimos
v(\theta)=\theta^{\theta},
então u(\theta)=-v(\theta) e
u'(\theta)=-v'(\theta).
Resta, portanto, encontrar v'(\theta).

Passo 4

Derivando v(\theta)=\theta^{\theta} por diferenciação logarítmica (a dica do enunciado). A ideia: aplicar logaritmo natural para transformar potência com variável na base e no expoente em produto, o que facilita a diferenciação.
Começamos escrevendo
v(\theta)=\theta^{\theta}\quad\Rightarrow\quad \ln v(\theta)=\ln\big(\theta^{\theta}\big).
Usando a identidade \ln(a^b)=b\ln a (válida quando a>0), obtemos
\ln v(\theta)=\theta\ln\theta.

Passo 5

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a \theta. No lado esquerdo usamos derivada de \ln v(\theta) que é \dfrac{v'(\theta)}{v(\theta)} (regra da cadeia). No lado direito aplicamos regra do produto em \theta\ln\theta:
\frac{v'(\theta)}{v(\theta)} = \frac{d}{d\theta}\big(\theta\ln\theta\big) = 1\cdot\ln\theta + \theta\cdot\frac{1}{\theta} = \ln\theta + 1.

Passo 6

Isolando v'(\theta) obtemos
v'(\theta)=v(\theta)\big(\ln\theta + 1\big).
Mas v(\theta)=\theta^{\theta}, logo
v'(\theta)=\theta^{\theta}\big(\ln\theta + 1\big).

Passo 7

Voltando para u(\theta)=-v(\theta), temos
u'(\theta)=-v'(\theta)=-\theta^{\theta}\big(\ln\theta + 1\big).

Passo 8

Agora aplicamos a regra da cadeia para y=\mathrm{e}^{u(\theta)}. Usando o resultado do Passo 2 e o valor de u'(\theta) do Passo 7:
\frac{dy}{d\theta}=\mathrm{e}^{u(\theta)}\cdot u'(\theta) =\mathrm{e}^{-\theta^{\theta}}\cdot\big(-\theta^{\theta}(\ln\theta + 1)\big).

Passo 9

Arrumando a expressão (colocando o sinal na frente e fatorando se quiser):
\frac{dy}{d\theta} = -(\ln\theta + 1)\,\theta^{\theta}\,\mathrm{e}^{-\theta^{\theta}}.
Observação final sobre domínio: essa dedução usou \ln\theta, então é diretamente válida para \theta>0. Para valores de \theta não positivos a expressão \theta^{\theta} e \ln\theta exigem cuidados (pontos isolados ou valores complexos), e normalmente em problemas de cálculo tomamos \theta>0.

Resposta

\frac{dy}{d\theta} = -(\ln\theta + 1)\,\theta^{\theta}\,\mathrm{e}^{-\theta^{\theta}}

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