As coordenadas de um corpo são
. Calcular as acelerações tangencial e normal num instante qualquer.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um movimento de um corpo cujas coordenadas em função do tempo são dadas por $ x = t^{2} $ e $ y = (t-1)^{2} $. A gente precisa calcular as acelerações tangencial e normal em qualquer instante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados ao movimento, especificamente as derivadas das posições para obter as velocidades e acelerações necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as velocidades nas direções $ x $ e $ y $. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as acelerações nas direções $ x $ e $ y $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 4
Com as acelerações nas direções $ x $ e $ y $, agora podemos encontrar a aceleração total do movimento. A aceleração total é um vetor dado por:
Passo 5
Para encontrar a aceleração tangencial ($ a_t
a_n $), precisamos primeiro determinar a velocidade total e a aceleração total em termos de módulo.
A velocidade total ($ v $) é dada por:
A aceleração total ($ a $) é:
Passo 6
A aceleração tangencial ($ a_t $) é a componente da aceleração na direção da velocidade. Como as componentes da aceleração são constantes e iguais em $ x $ e $ y $, podemos usar o produto escalar para encontrar $ a_t $:
Passo 7
A aceleração normal ($ a_n $) é dada pela relação:
Simplificando:
Resposta
As acelerações tangencial e normal em qualquer instante são:
e