As coordenadas de um corpo são x=t^2, y=(t-1)^2. Calcular as acelerações tangencial e normal num instante qualquer.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um movimento de um corpo cujas coordenadas em função do tempo são dadas por $ x = t^{2} $ e $ y = (t-1)^{2} $. A gente precisa calcular as acelerações tangencial e normal em qualquer instante. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados ao movimento, especificamente as derivadas das posições para obter as velocidades e acelerações necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as velocidades nas direções $ x $ e $ y $. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
x
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar as acelerações nas direções $ x $ e $ y $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
x
y

Passo 4

Com as acelerações nas direções $ x $ e $ y $, agora podemos encontrar a aceleração total do movimento. A aceleração total é um vetor dado por:
x

Passo 5

Para encontrar a aceleração tangencial ($ a_t at çã a_n $), precisamos primeiro determinar a velocidade total e a aceleração total em termos de módulo.
A velocidade total ($ v $) é dada por:
an
A aceleração total ($ a $) é:
v

Passo 6

A aceleração tangencial ($ a_t $) é a componente da aceleração na direção da velocidade. Como as componentes da aceleração são constantes e iguais em $ x $ e $ y $, podemos usar o produto escalar para encontrar $ a_t $:

Passo 7

A aceleração normal ($ a_n $) é dada pela relação:
an
Simplificando:

Resposta

As acelerações tangencial e normal em qualquer instante são:
at = 4t -2raiz2t^2 - 2t +1
e
an = 2raiz2t^2 -2t +1

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