Um ponto move-se no plano
segundo a lei
. Sabe-se que para
. Determinar o valor da velocidade quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano XY. A gente tem as leis de aceleração nas direções X e Y, e algumas condições iniciais. A matéria aqui envolve cálculo, mais especificamente integrais para encontrar as velocidades a partir das acelerações. Vamos precisar integrar as funções de aceleração e usar as condições iniciais para achar as velocidades quando $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, a gente precisa integrar a aceleração.
Para a direção X:
Para a direção Y:
Passo 3
Vamos integrar a aceleração em X para achar $ v_x(t) $:
Integrando:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para a aceleração em Y:
Integrando:
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para achar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $.
Quando $ t = 0 $:
- $ v_x = 4 $
- $ v_y = 0 $
Substituindo em $ v_x(t) $:
E em $ v_y(t) $:
Passo 6
Agora, temos as funções de velocidade completas:
Passo 7
Vamos calcular as velocidades em $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos.
Para $ v_x $:
Para $ v_y $:
Resposta
A velocidade quando $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos é: