Um ponto move-se no plano X Y segundo a lei ax=-4 sen t, ay=3 cos t. Sabe-se que para t=0, x=0, y=3, vx=4, vy=0. Determinar o valor da velocidade quando t=pi / 4 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano XY. A gente tem as leis de aceleração nas direções X e Y, e algumas condições iniciais. A matéria aqui envolve cálculo, mais especificamente integrais para encontrar as velocidades a partir das acelerações. Vamos precisar integrar as funções de aceleração e usar as condições iniciais para achar as velocidades quando $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade, a gente precisa integrar a aceleração.
Para a direção X:
ax = -4 sin t
Para a direção Y:
ay = 3 cos t

Passo 3

Vamos integrar a aceleração em X para achar $ v_x(t) $:
vx(t)
Integrando:
vx(t) = integral ax , dt = integral -4 sin t , dt

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para a aceleração em Y:
vy(t) = integral ay , dt = integral 3 cos t , dt
Integrando:
vy(t) = 3 sin t + Cy

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para achar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $.
Quando $ t = 0 $:
  • $ v_x = 4 $
  • $ v_y = 0 $
Substituindo em $ v_x(t) $:
Cx
Cy
t = 0
E em $ v_y(t) $:
vx = 4
vy = 0
vx(t)

Passo 6

Agora, temos as funções de velocidade completas:
vx(t) = 4 cos t
vy(t) = 3 sin t

Passo 7

Vamos calcular as velocidades em $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos.
Para $ v_x $:
t = pi4
Para $ v_y $:
vx

Resposta

A velocidade quando $ t = \frac{\pi}{4} $ segundos é:
t = pi4

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