Um ponto move-se no plano X Y segundo a lei ax=-4 sen t, ay=3 cos t. Sabe-se que para t=0, x=0, y=3, vx=4, vy=0. Determinar a equação da trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto que se move no plano XY com acelerações dadas por:
ax = -4 sin t e ay = 3 cos t
Também sabemos as condições iniciais quando $ t = 0 $:
t = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integração de funções de tempo para encontrar velocidades e posições. Vamos precisar integrar as acelerações para obter as velocidades e depois integrar as velocidades para encontrar as coordenadas $ x $ e $ y $ em função do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as velocidades $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $ integrando as acelerações.
Para $ v_x(t) $, temos:
vx(t)
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
vy(t)
Usando a condição inicial $ v_x(0) = 4 $:
vx(t)
Então, a velocidade em $ x $ é:
ax = dvxdt = -4 sin t

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ v_y(t) $ integrando $ a_y $:
vy(t)
Integrando:
ay
Usando a condição inicial $ v_y(0) = 0 $:
ay = dvydt = 3 cos t
Então, a velocidade em $ y $ é:
vy(t) = integral 3 cos t , dt = 3 sin t + Cy

Passo 4

Agora que temos as expressões para $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, vamos integrar novamente para encontrar as posições $ x(t) $ e $ y(t) $.
Para $ x(t) $:
vx(t)
Integrando:
vy(t)
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
x(t)
Então, a posição em $ x $ é:
y(t)

Passo 5

Agora, para $ y(t) $:
y(t)
Integrando:
vy(t) = dydt = 3 sin t
Usando a condição inicial $ y(0) = 3 $:
y(t) = integral 3 sin t , dt = -3 cos t + Dy
Então, a posição em $ y $ é:
y(0) = 3

Passo 6

Agora temos $ x(t) = 4 \sin t $ e $ y(t) = -3 \cos t + 6 $. Para achar a equação da trajetória $ y $ em função de $ x $, vamos eliminar o parâmetro $ t $.
Sabemos que:
x(t) = 4 sin t
Usando a identidade trigonométrica:
y(t) = -3 cos t + 6
Substituindo $ \sin t $:
y
Agora, substituindo $ \cos t $ na expressão de $ y(t) $:
x
Porém, para deixar a equação mais simples, podemos expressar diretamente:
t

Resposta

A equação da trajetória é:
y = -3 raiz1 - x^216 + 6

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