Um ponto move-se no plano
segundo a lei
. Sabe-se que para
. Determinar a equação da trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto que se move no plano XY com acelerações dadas por:
Também sabemos as condições iniciais quando $ t = 0 $:
O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integração de funções de tempo para encontrar velocidades e posições. Vamos precisar integrar as acelerações para obter as velocidades e depois integrar as velocidades para encontrar as coordenadas $ x $ e $ y $ em função do tempo $ t $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as velocidades $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $ integrando as acelerações.
Para $ v_x(t) $, temos:
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Usando a condição inicial $ v_x(0) = 4 $:
Então, a velocidade em $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ v_y(t) $ integrando $ a_y $:
Integrando:
Usando a condição inicial $ v_y(0) = 0 $:
Então, a velocidade em $ y $ é:
Passo 4
Agora que temos as expressões para $ v_x(t) $ e $ v_y(t) $, vamos integrar novamente para encontrar as posições $ x(t) $ e $ y(t) $.
Para $ x(t) $:
Integrando:
Usando a condição inicial $ x(0) = 0 $:
Então, a posição em $ x $ é:
Passo 5
Agora, para $ y(t) $:
Integrando:
Usando a condição inicial $ y(0) = 3 $:
Então, a posição em $ y $ é:
Passo 6
Agora temos $ x(t) = 4 \sin t $ e $ y(t) = -3 \cos t + 6 $. Para achar a equação da trajetória $ y $ em função de $ x $, vamos eliminar o parâmetro $ t $.
Sabemos que:
Usando a identidade trigonométrica:
Substituindo $ \sin t $:
Agora, substituindo $ \cos t $ na expressão de $ y(t) $:
Porém, para deixar a equação mais simples, podemos expressar diretamente:
Resposta
A equação da trajetória é: