1. A densidade do vapor de água a 327,6 \mathrm{~atm} e 776,4 \mathrm{~K} é 133,2 \mathrm{~g} \mathrm{dm}^{-3}. (a) Determine o volume molar do vapor de água e o fator de compressibilidade a partir dos dados.
    (b) Calcule Z pela equação de van der Waals com \mathrm{a}=5,464 \mathrm{~atm} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~mol}^{-2} \mathrm{e} \mathrm{b}=3,05 \times 10^{-2} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
  • Pressão: \,p=327{,}6\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura: \,T=776{,}4\\ \mathrm{K}.
  • Densidade do vapor: \,\rho=133{,}2\\ \mathrm{g\\ dm^{-3}}. (Repare que \mathrm{dm^{3}}=\mathrm{L}, então \rho está em \mathrm{g\\ L^{-1}}.)
  • Constantes de van der Waals (para o item b): \,a=5{,}464\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} e \,b=3{,}05\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Massa molar da água (valor utilizado): \,M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}. (Usarei este valor padrão.)
Perguntas do enunciado:
(a) Determine o volume molar do vapor de água e o fator de compressibilidade a partir dos dados experimentais.
(b) Calcule o fator de compressibilidade Z previsto pela equação de van der Waals com os valores de a e b fornecidos.

Passo 2

Como encontrar o volume molar a partir da densidade — ideia e fórmula usada (passo-a-passo):
  • A densidade em \mathrm{g\\ L^{-1}} permite achar quantos mols há por litro: \dfrac{n}{V}=\dfrac{\rho}{M}, porque \rho é massa por volume e M é massa por mol.
  • O volume molar V_m (em \mathrm{L\;mol^{-1}}) é o volume ocupado por 1 mol, logo é o inverso da concentração molar:
V_m=\frac{1}{n/V}=\frac{M}{\rho}.
Aqui:
  • \,M é a massa molar em \mathrm{g\;mol^{-1}},
  • \rho é a densidade em \mathrm{g\;L^{-1}},
  • V_m fica em \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Aplicando aos dados:
V_m=\frac{18{,}015}{133{,}2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Faço a divisão:
V_m\approx 0{,}1353\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 3

O que é o fator de compressibilidade e fórmula usada:
  • O fator de compressibilidade Z mede o desvio do gás em relação ao gás ideal. Para 1 mol:
Z=\frac{pV_m}{RT},
onde:
  • p é a pressão em \mathrm{atm},
  • V_m é o volume molar em \mathrm{L\;mol^{-1}},
  • R é a constante dos gases, usarei \,R=0{,}082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}},
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
Calculemos RT primeiro:
RT=0{,}082057\times 776{,}4\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}} \approx 63{,}7091\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}.
Agora calcule pV_m:
pV_m=327{,}6\times 0{,}1353\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}\approx 44{,}3243\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}.
Finalmente:
Z=\frac{44{,}3243}{63{,}7091}\approx 0{,}6956.
Arredondando de forma prática para a prova, V_m\approx 0{,}1353\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} e Z\approx 0{,}696.

Passo 4

Apresentando a equação de van der Waals e como vamos empregá‑la:
  • A equação de van der Waals por mol é
p=\frac{RT}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^{2}},
onde a corrige as forças intermoleculares e b corrige o volume finito das moléculas. Todas as grandezas em unidades compatíveis (aqui usamos \mathrm{atm}, \mathrm{L}, \mathrm{mol}, \mathrm{K}).
  • Para calcular Z pela vdW precisamos do V_m que satisfaz essa equação para os dados p e T. Isso leva a um polinômio cúbico em V_m. Vamos derivar esse cúbico.
Multiplicando ambos os lados por (V_m-b)V_m^{2} e arrumando:
pV_m^{3}-(pb+RT)V_m^{2}+aV_m-ab=0.
Este é o polinômio cúbico em V_m que devemos resolver numericamente.

Passo 5

Substituição numérica dos coeficientes no cúbico (mostrando todas as contas):
  • Calcule pb+RT:
pb=327{,}6\times 0{,}0305=9{,}9918\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}
RT\approx 63{,}7091\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}
pb+RT\approx 9{,}9918+63{,}7091=73{,}7009.
  • Calcule ab:
ab=5{,}464\times 0{,}0305\approx 0{,}166652.
  • Logo o cúbico fica
327{,}6\;V_m^{3}-73{,}7009\;V_m^{2}+5{,}464\;V_m-0{,}166652=0.

Passo 6

Resolução numérica do cúbico (método prático da prova: tentativa/intervalo/interpolação):
  • Procuramos a raiz positiva V_m>b (física). Sabemos do experimento que V_m está na ordem de 0{,}13\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}, então testamos valores nessa vizinhança.
  • Avaliando o polinômio f(V_m)=327{,}6V_m^{3}-73{,}7009V_m^{2}+5{,}464V_m-0{,}166652:
Testes (mostro alguns):
f(0{,}1353)\approx +0{,}0356
f(0{,}13)\approx +0{,}0175
f(0{,}12)\approx -0{,}00507
  • Como f(0{,}12)<0 e f(0{,}13)>0, há uma raiz entre 0{,}12 e 0{,}13. Faço interpolação linear rápida para aproximar a raiz:
V_m\approx 0{,}12+\frac{0-(-0{,}00507)}{0{,}01747-(-0{,}00507)}\times 0{,}01\approx 0{,}1223\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Verificação: ao substituir V_m\approx 0{,}12225\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} obtém‑se f(V_m)\approx -5{,}5\times10^{-4} (próximo de zero), então a raiz é boa para propósitos de cálculo de Z.
Portanto o volume molar previsto por van der Waals é aproximadamente
V_{m,\mathrm{vdW}}\approx 0{,}1223\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 7

Cálculo de Z usando o volume molar obtido pela van der Waals:
  • Usamos a definição Z=\dfrac{pV_m}{RT} com V_m=V_{m,\mathrm{vdW}}.
  • Calcule pV_m:
pV_{m,\mathrm{vdW}}=327{,}6\times 0{,}12225\approx 40{,}0491\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}.
  • Como já tínhamos RT\approx 63{,}7091\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}, então
Z_{\mathrm{vdW}}=\frac{40{,}0491}{63{,}7091}\approx 0{,}6285.
Arredondando de modo prático, Z_{\mathrm{vdW}}\approx 0{,}629.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo (rápido):
  • Resultado experimental: Z\approx 0{,}696 (menor que 1 — gás mais “compressível” que ideal sob estas condições).
  • Previsão pela vdW: Z_{\mathrm{vdW}}\approx 0{,}629. A vdW prevê um desvio diferente, mostrando que o modelo captura parte do comportamento não-ideal, mas não é perfeito — é normal que haja diferença. Você mandou bem pedindo comparar as duas coisas!

Resposta

V_m=0{,}1353\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}
Z_{\text{experimental}}=0{,}696
Z_{\text{van\\ der\\ Waals}}\approx 0{,}629

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