- A densidade do vapor de água a
e
é
. (a) Determine o volume molar do vapor de água e o fator de compressibilidade a partir dos dados.
(b) Calcule Z pela equação de van der Waals com
.
(b) Calcule Z pela equação de van der Waals com
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações fornecidas:
- Pressão:
. - Temperatura:
. - Densidade do vapor:
. (Repare que , então está em .) - Constantes de van der Waals (para o item b):
e . - Massa molar da água (valor utilizado):
. (Usarei este valor padrão.)
Perguntas do enunciado:
(a) Determine o volume molar do vapor de água e o fator de compressibilidade a partir dos dados experimentais.
(b) Calcule o fator de compressibilidade previsto pela equação de van der Waals com os valores de
e
fornecidos.
(a) Determine o volume molar do vapor de água e o fator de compressibilidade a partir dos dados experimentais.
(b) Calcule o fator de compressibilidade
Passo 2
Como encontrar o volume molar a partir da densidade — ideia e fórmula usada (passo-a-passo):
- A densidade em
permite achar quantos mols há por litro: , porque é massa por volume e é massa por mol. - O volume molar
(em ) é o volume ocupado por 1 mol, logo é o inverso da concentração molar:
Aqui:
-
é a massa molar em , -
é a densidade em , -
fica em .
Aplicando aos dados:
Faço a divisão:
Passo 3
O que é o fator de compressibilidade e fórmula usada:
- O fator de compressibilidade
mede o desvio do gás em relação ao gás ideal. Para 1 mol:
onde:
-
é a pressão em , -
é o volume molar em , -
é a constante dos gases, usarei , -
é a temperatura em .
Calculemos
primeiro:
Agora calcule
:
Finalmente:
Arredondando de forma prática para a prova,
e
.
Passo 4
Apresentando a equação de van der Waals e como vamos empregá‑la:
- A equação de van der Waals por mol é
onde
corrige as forças intermoleculares e
corrige o volume finito das moléculas. Todas as grandezas em unidades compatíveis (aqui usamos
,
,
,
).
- Para calcular
pela vdW precisamos do que satisfaz essa equação para os dados e . Isso leva a um polinômio cúbico em . Vamos derivar esse cúbico.
Multiplicando ambos os lados por
e arrumando:
Este é o polinômio cúbico em
que devemos resolver numericamente.
Passo 5
Substituição numérica dos coeficientes no cúbico (mostrando todas as contas):
- Calcule
:
- Calcule
:
- Logo o cúbico fica
Passo 6
Resolução numérica do cúbico (método prático da prova: tentativa/intervalo/interpolação):
- Procuramos a raiz positiva
(física). Sabemos do experimento que está na ordem de , então testamos valores nessa vizinhança. - Avaliando o polinômio
:
Testes (mostro alguns):
- Como
e , há uma raiz entre e . Faço interpolação linear rápida para aproximar a raiz:
- Verificação: ao substituir
obtém‑se (próximo de zero), então a raiz é boa para propósitos de cálculo de .
Portanto o volume molar previsto por van der Waals é aproximadamente
Passo 7
Cálculo de
usando o volume molar obtido pela van der Waals:
- Usamos a definição
com . - Calcule
:
- Como já tínhamos
, então
Arredondando de modo prático,
.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo (rápido):
- Resultado experimental:
(menor que 1 — gás mais “compressível” que ideal sob estas condições). - Previsão pela vdW:
. A vdW prevê um desvio diferente, mostrando que o modelo captura parte do comportamento não-ideal, mas não é perfeito — é normal que haja diferença. Você mandou bem pedindo comparar as duas coisas!